Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3527 / 2697
↖ ↑ ↗
← N 52.241256°
W 25.004883°		 ← 2 992.19 m → N 52.241256°
W 24.960937°		 →
↑
2 993.10 m
↓
↑
2 993.10 m
↓
N 52.214339°
W 25.004883°		 ← 2 994 m →
8 958 613 m²		 N 52.214339°
W 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43060302734375 y=0.32928466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43060302734375 × 213)
    floor (0.43060302734375 × 8192)
    floor (3527.5)     		tx = 3527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32928466796875 × 213)
    floor (0.32928466796875 × 8192)
    floor (2697.5)     		ty = 2697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3527 / 2697 ti = "13/3527/2697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3527/2697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3527 ÷ 213
    3527 ÷ 8192     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2697 ÷ 213
    2697 ÷ 8192     		y = 0.3292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3292236328125 × 2 - 1) × π
    0.341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07301956109534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07301956109534))-π/2
    2×atan(2.92419597073045)-π/2
    2×1.24128912598274-π/2
    2.48257825196548-1.57079632675     		φ = 0.91178193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91178193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.241256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3527 KachelY 2697 -0.43641753 0.91178193 -25.004883 52.241256
    Oben rechts KachelX + 1 3528 KachelY 2697 -0.43565054 0.91178193 -24.960937 52.241256
    Unten links KachelX 3527 KachelY + 1 2698 -0.43641753 0.91131213 -25.004883 52.214339
    Unten rechts KachelX + 1 3528 KachelY + 1 2698 -0.43565054 0.91131213 -24.960937 52.214339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91178193-0.91131213) × R
    0.000469799999999965 × 6371000     		dl = 2993.09579999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91178193-0.91131213) × R
    0.000469799999999965 × 6371000     		dr = 2993.09579999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43565054) × cos(0.91178193) × R
    0.000766990000000023 × 0.612337935429099 × 6371000     		do = 2992.18521268684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43565054) × cos(0.91131213) × R
    0.000766990000000023 × 0.612709289905719 × 6371000     		du = 2993.99983384505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91178193)-sin(0.91131213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612337935429099-0.612709289905719)×R²
    abs(-0.43565054--0.43641753)×0.000371354476619179×R²
    0.000766990000000023×0.000371354476619179×6371000²
    0.000766990000000023×0.000371354476619179×40589641000000     		ar = 8958612.82517163m²