Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35266 / 103110
↖ ↑ ↗
← S 71.249653°
W 83.139038°		 ← 98.18 m → S 71.249653°
W 83.136291°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.250536°
W 83.139038°		 ← 98.17 m →
9 639 m²		 S 71.250536°
W 83.136291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269062042236328 y=0.786670684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269062042236328 × 217)
    floor (0.269062042236328 × 131072)
    floor (35266.5)     		tx = 35266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786670684814453 × 217)
    floor (0.786670684814453 × 131072)
    floor (103110.5)     		ty = 103110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35266 / 103110 ti = "17/35266/103110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35266/103110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35266 ÷ 217
    35266 ÷ 131072     		x = 0.269058227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103110 ÷ 217
    103110 ÷ 131072     		y = 0.786666870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269058227539062 × 2 - 1) × π
    -0.461883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45104995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786666870117188 × 2 - 1) × π
    -0.573333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80118106632399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45104995} λ = -1.45104995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80118106632399))-π/2
    2×atan(0.16510377451511)-π/2
    2×0.163627641269795-π/2
    0.327255282539589-1.57079632675     		φ = -1.24354104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45104995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.139038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24354104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.249653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35266 KachelY 103110 -1.45104995 -1.24354104 -83.139038 -71.249653
    Oben rechts KachelX + 1 35267 KachelY 103110 -1.45100201 -1.24354104 -83.136291 -71.249653
    Unten links KachelX 35266 KachelY + 1 103111 -1.45104995 -1.24355645 -83.139038 -71.250536
    Unten rechts KachelX + 1 35267 KachelY + 1 103111 -1.45100201 -1.24355645 -83.136291 -71.250536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24354104--1.24355645) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24354104--1.24355645) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45104995--1.45100201) × cos(-1.24354104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321445196161939 × 6371000     		do = 98.1776369071411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45104995--1.45100201) × cos(-1.24355645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321430603960456 × 6371000     		du = 98.1731800732049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24354104)-sin(-1.24355645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321445196161939-0.321430603960456)×R²
    abs(-1.45100201--1.45104995)×1.45922014831434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45922014831434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45922014831434e-05×40589641000000     		ar = 9638.57787888516m²