Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3526 / 5451
↖ ↑ ↗
← S 51.041394°
W 25.048828°		 ← 3 072.43 m → S 51.041394°
W 25.004883°		 →
↑
3 071.52 m
↓
↑
3 071.52 m
↓
S 51.069017°
W 25.048828°		 ← 3 070.59 m →
9 434 211 m²		 S 51.069017°
W 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43048095703125 y=0.66546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43048095703125 × 213)
    floor (0.43048095703125 × 8192)
    floor (3526.5)     		tx = 3526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66546630859375 × 213)
    floor (0.66546630859375 × 8192)
    floor (5451.5)     		ty = 5451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3526 / 5451 ti = "13/3526/5451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3526/5451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3526 ÷ 213
    3526 ÷ 8192     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5451 ÷ 213
    5451 ÷ 8192     		y = 0.6654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03927198376282))-π/2
    2×atan(0.35371209639593)-π/2
    2×0.339977974241963-π/2
    0.679955948483925-1.57079632675     		φ = -0.89084038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89084038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.041394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3526 KachelY 5451 -0.43718452 -0.89084038 -25.048828 -51.041394
    Oben rechts KachelX + 1 3527 KachelY 5451 -0.43641753 -0.89084038 -25.004883 -51.041394
    Unten links KachelX 3526 KachelY + 1 5452 -0.43718452 -0.89132249 -25.048828 -51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 3527 KachelY + 1 5452 -0.43641753 -0.89132249 -25.004883 -51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89084038--0.89132249) × R
    0.00048210999999998 × 6371000     		dl = 3071.52280999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89084038--0.89132249) × R
    0.00048210999999998 × 6371000     		dr = 3071.52280999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43641753) × cos(-0.89084038) × R
    0.000766990000000023 × 0.628758768837873 × 6371000     		do = 3072.42550495502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43641753) × cos(-0.89132249) × R
    0.000766990000000023 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 3070.59325568547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89084038)-sin(-0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628758768837873-0.628383806843492)×R²
    abs(-0.43641753--0.43718452)×0.000374961994380696×R²
    0.000766990000000023×0.000374961994380696×6371000²
    0.000766990000000023×0.000374961994380696×40589641000000     		ar = 9434211.30551542m²