Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3526 / 4700
↖ ↑ ↗
← N 60.630102°
W102.524414°		 ← 1 198.30 m → N 60.630102°
W102.502441°		 →
↑
1 198.45 m
↓
↑
1 198.45 m
↓
N 60.619324°
W102.524414°		 ← 1 198.70 m →
1 436 337 m²		 N 60.619324°
W102.502441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215240478515625 y=0.286895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215240478515625 × 214)
    floor (0.215240478515625 × 16384)
    floor (3526.5)     		tx = 3526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286895751953125 × 214)
    floor (0.286895751953125 × 16384)
    floor (4700.5)     		ty = 4700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3526 / 4700 ti = "14/3526/4700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3526/4700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3526 ÷ 214
    3526 ÷ 16384     		x = 0.2152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4700 ÷ 214
    4700 ÷ 16384     		y = 0.286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78938859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286865234375 × 2 - 1) × π
    0.42626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33916522778589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78938859} λ = -1.78938859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33916522778589))-π/2
    2×atan(3.81585680423341)-π/2
    2×1.31449561420835-π/2
    2.62899122841671-1.57079632675     		φ = 1.05819490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78938859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05819490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.630102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3526 KachelY 4700 -1.78938859 1.05819490 -102.524414 60.630102
    Oben rechts KachelX + 1 3527 KachelY 4700 -1.78900509 1.05819490 -102.502441 60.630102
    Unten links KachelX 3526 KachelY + 1 4701 -1.78938859 1.05800679 -102.524414 60.619324
    Unten rechts KachelX + 1 3527 KachelY + 1 4701 -1.78900509 1.05800679 -102.502441 60.619324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05819490-1.05800679) × R
    0.000188109999999853 × 6371000     		dl = 1198.44880999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05819490-1.05800679) × R
    0.000188109999999853 × 6371000     		dr = 1198.44880999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78938859--1.78900509) × cos(1.05819490) × R
    0.00038349999999987 × 0.490445973419791 × 6371000     		do = 1198.29610226774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78938859--1.78900509) × cos(1.05800679) × R
    0.00038349999999987 × 0.49060989726393 × 6371000     		du = 1198.69661387176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05819490)-sin(1.05800679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490445973419791-0.49060989726393)×R²
    abs(-1.78900509--1.78938859)×0.000163923844138048×R²
    0.00038349999999987×0.000163923844138048×6371000²
    0.00038349999999987×0.000163923844138048×40589641000000     		ar = 1436336.53835316m²