Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3526 / 4578
↖ ↑ ↗
← N 78.129975°
W141.262207°		 ← 251.28 m → N 78.129975°
W141.251220°		 →
↑
251.34 m
↓
↑
251.34 m
↓
N 78.127714°
W141.262207°		 ← 251.33 m →
63 162 m²		 N 78.127714°
W141.251220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107620239257812 y=0.139724731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107620239257812 × 215)
    floor (0.107620239257812 × 32768)
    floor (3526.5)     		tx = 3526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139724731445312 × 215)
    floor (0.139724731445312 × 32768)
    floor (4578.5)     		ty = 4578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3526 / 4578 ti = "15/3526/4578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3526/4578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3526 ÷ 215
    3526 ÷ 32768     		x = 0.10760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4578 ÷ 215
    4578 ÷ 32768     		y = 0.13970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.7847900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46549062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13970947265625 × 2 - 1) × π
    0.7205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26377214765753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46549062} λ = -2.46549062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26377214765753))-π/2
    2×atan(9.61930625928236)-π/2
    2×1.46721081250602-π/2
    2.93442162501205-1.57079632675     		φ = 1.36362530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46549062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36362530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.129975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3526 KachelY 4578 -2.46549062 1.36362530 -141.262207 78.129975
    Oben rechts KachelX + 1 3527 KachelY 4578 -2.46529887 1.36362530 -141.251220 78.129975
    Unten links KachelX 3526 KachelY + 1 4579 -2.46549062 1.36358585 -141.262207 78.127714
    Unten rechts KachelX + 1 3527 KachelY + 1 4579 -2.46529887 1.36358585 -141.251220 78.127714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36362530-1.36358585) × R
    3.94500000000519e-05 × 6371000     		dl = 251.335950000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36362530-1.36358585) × R
    3.94500000000519e-05 × 6371000     		dr = 251.335950000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46549062--2.46529887) × cos(1.36362530) × R
    0.000191750000000379 × 0.205692246124052 × 6371000     		do = 251.2817212863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46549062--2.46529887) × cos(1.36358585) × R
    0.000191750000000379 × 0.205730852393894 × 6371000     		du = 251.328884220834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36362530)-sin(1.36358585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205692246124052-0.205730852393894)×R²
    abs(-2.46529887--2.46549062)×3.8606269841146e-05×R²
    0.000191750000000379×3.8606269841146e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.8606269841146e-05×40589641000000     		ar = 63162.0570155255m²