Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3526 / 4570
↖ ↑ ↗
← N 78.148039°
W141.262207°		 ← 250.90 m → N 78.148039°
W141.251220°		 →
↑
250.95 m
↓
↑
250.95 m
↓
N 78.145782°
W141.262207°		 ← 250.95 m →
62 971 m²		 N 78.145782°
W141.251220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107620239257812 y=0.139480590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107620239257812 × 215)
    floor (0.107620239257812 × 32768)
    floor (3526.5)     		tx = 3526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139480590820312 × 215)
    floor (0.139480590820312 × 32768)
    floor (4570.5)     		ty = 4570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3526 / 4570 ti = "15/3526/4570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3526/4570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3526 ÷ 215
    3526 ÷ 32768     		x = 0.10760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4570 ÷ 215
    4570 ÷ 32768     		y = 0.13946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10760498046875 × 2 - 1) × π
    -0.7847900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46549062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13946533203125 × 2 - 1) × π
    0.7210693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26530612844537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46549062} λ = -2.46549062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26530612844537))-π/2
    2×atan(9.63407341364629)-π/2
    2×1.46736845812486-π/2
    2.93473691624971-1.57079632675     		φ = 1.36394059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46549062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36394059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.148039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3526 KachelY 4570 -2.46549062 1.36394059 -141.262207 78.148039
    Oben rechts KachelX + 1 3527 KachelY 4570 -2.46529887 1.36394059 -141.251220 78.148039
    Unten links KachelX 3526 KachelY + 1 4571 -2.46549062 1.36390120 -141.262207 78.145782
    Unten rechts KachelX + 1 3527 KachelY + 1 4571 -2.46529887 1.36390120 -141.251220 78.145782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36394059-1.36390120) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dl = 250.953689999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36394059-1.36390120) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dr = 250.953689999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46549062--2.46529887) × cos(1.36394059) × R
    0.000191750000000379 × 0.205383687837359 × 6371000     		do = 250.904774372361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46549062--2.46529887) × cos(1.36390120) × R
    0.000191750000000379 × 0.205422237943554 × 6371000     		du = 250.951868695181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36394059)-sin(1.36390120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205383687837359-0.205422237943554)×R²
    abs(-2.46529887--2.46549062)×3.85501061954951e-05×R²
    0.000191750000000379×3.85501061954951e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.85501061954951e-05×40589641000000     		ar = 62971.3882221515m²