Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3526 / 2694
↖ ↑ ↗
← N 52.321911°
W 25.048828°		 ← 2 986.74 m → N 52.321911°
W 25.004883°		 →
↑
2 987.68 m
↓
↑
2 987.68 m
↓
N 52.295042°
W 25.048828°		 ← 2 988.56 m →
8 926 146 m²		 N 52.295042°
W 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43048095703125 y=0.32891845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43048095703125 × 213)
    floor (0.43048095703125 × 8192)
    floor (3526.5)     		tx = 3526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32891845703125 × 213)
    floor (0.32891845703125 × 8192)
    floor (2694.5)     		ty = 2694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3526 / 2694 ti = "13/3526/2694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3526/2694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3526 ÷ 213
    3526 ÷ 8192     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2694 ÷ 213
    2694 ÷ 8192     		y = 0.328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328857421875 × 2 - 1) × π
    0.34228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0753205322771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0753205322771))-π/2
    2×atan(2.93093220836119)-π/2
    2×1.24199297133548-π/2
    2.48398594267096-1.57079632675     		φ = 0.91318962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91318962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.321911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3526 KachelY 2694 -0.43718452 0.91318962 -25.048828 52.321911
    Oben rechts KachelX + 1 3527 KachelY 2694 -0.43641753 0.91318962 -25.004883 52.321911
    Unten links KachelX 3526 KachelY + 1 2695 -0.43718452 0.91272067 -25.048828 52.295042
    Unten rechts KachelX + 1 3527 KachelY + 1 2695 -0.43641753 0.91272067 -25.004883 52.295042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91318962-0.91272067) × R
    0.000468950000000024 × 6371000     		dl = 2987.68045000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91318962-0.91272067) × R
    0.000468950000000024 × 6371000     		dr = 2987.68045000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43641753) × cos(0.91318962) × R
    0.000766990000000023 × 0.611224414818064 × 6371000     		do = 2986.74400169274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43641753) × cos(0.91272067) × R
    0.000766990000000023 × 0.611595501513751 × 6371000     		du = 2988.55731434122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91318962)-sin(0.91272067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611224414818064-0.611595501513751)×R²
    abs(-0.43641753--0.43718452)×0.000371086695687084×R²
    0.000766990000000023×0.000371086695687084×6371000²
    0.000766990000000023×0.000371086695687084×40589641000000     		ar = 8926145.62597128m²