Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35259 / 47708
↖ ↑ ↗
← S 63.144431°
E 13.683471°		 ← 275.95 m → S 63.144431°
E 13.688965°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 63.146912°
E 13.683471°		 ← 275.92 m →
76 138 m²		 S 63.146912°
E 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538017272949219 y=0.727973937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538017272949219 × 216)
    floor (0.538017272949219 × 65536)
    floor (35259.5)     		tx = 35259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727973937988281 × 216)
    floor (0.727973937988281 × 65536)
    floor (47708.5)     		ty = 47708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35259 / 47708 ti = "16/35259/47708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35259/47708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35259 ÷ 216
    35259 ÷ 65536     		x = 0.538009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47708 ÷ 216
    47708 ÷ 65536     		y = 0.72796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538009643554688 × 2 - 1) × π
    0.076019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23882163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.4559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43235456064728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23882163} λ = 0.23882163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43235456064728))-π/2
    2×atan(0.238746117711612)-π/2
    2×0.234359051651021-π/2
    0.468718103302042-1.57079632675     		φ = -1.10207822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23882163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.683471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10207822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.144431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35259 KachelY 47708 0.23882163 -1.10207822 13.683471 -63.144431
    Oben rechts KachelX + 1 35260 KachelY 47708 0.23891751 -1.10207822 13.688965 -63.144431
    Unten links KachelX 35259 KachelY + 1 47709 0.23882163 -1.10212153 13.683471 -63.146912
    Unten rechts KachelX + 1 35260 KachelY + 1 47709 0.23891751 -1.10212153 13.688965 -63.146912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10207822--1.10212153) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dl = 275.928009999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10207822--1.10212153) × R
    4.33099999999076e-05 × 6371000     		dr = 275.928009999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23882163-0.23891751) × cos(-1.10207822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451743018258869 × 6371000     		do = 275.947891283076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23882163-0.23891751) × cos(-1.10212153) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451704378900672 × 6371000     		du = 275.924288373935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10207822)-sin(-1.10212153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451743018258869-0.451704378900672)×R²
    abs(0.23891751-0.23882163)×3.86393581972011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86393581972011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86393581972011e-05×40589641000000     		ar = 76138.4961654761m²