Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35259 / 47707
↖ ↑ ↗
← S 63.141949°
E 13.683471°		 ← 275.97 m → S 63.141949°
E 13.688965°		 →
↑
275.93 m
↓
↑
275.93 m
↓
S 63.144431°
E 13.683471°		 ← 275.95 m →
76 145 m²		 S 63.144431°
E 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538017272949219 y=0.727958679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538017272949219 × 216)
    floor (0.538017272949219 × 65536)
    floor (35259.5)     		tx = 35259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727958679199219 × 216)
    floor (0.727958679199219 × 65536)
    floor (47707.5)     		ty = 47707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35259 / 47707 ti = "16/35259/47707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35259/47707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35259 ÷ 216
    35259 ÷ 65536     		x = 0.538009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47707 ÷ 216
    47707 ÷ 65536     		y = 0.727951049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538009643554688 × 2 - 1) × π
    0.076019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23882163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727951049804688 × 2 - 1) × π
    -0.455902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43225868684804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23882163} λ = 0.23882163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43225868684804))-π/2
    2×atan(0.238769008306258)-π/2
    2×0.234380707736734-π/2
    0.468761415473467-1.57079632675     		φ = -1.10203491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23882163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.683471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10203491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.141949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35259 KachelY 47707 0.23882163 -1.10203491 13.683471 -63.141949
    Oben rechts KachelX + 1 35260 KachelY 47707 0.23891751 -1.10203491 13.688965 -63.141949
    Unten links KachelX 35259 KachelY + 1 47708 0.23882163 -1.10207822 13.683471 -63.144431
    Unten rechts KachelX + 1 35260 KachelY + 1 47708 0.23891751 -1.10207822 13.688965 -63.144431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10203491--1.10207822) × R
    4.33100000001296e-05 × 6371000     		dl = 275.928010000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10203491--1.10207822) × R
    4.33100000001296e-05 × 6371000     		dr = 275.928010000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23882163-0.23891751) × cos(-1.10203491) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451781656769707 × 6371000     		do = 275.971493674606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23882163-0.23891751) × cos(-1.10207822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451743018258869 × 6371000     		du = 275.947891283076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10203491)-sin(-1.10207822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451781656769707-0.451743018258869)×R²
    abs(0.23891751-0.23882163)×3.86385108376297e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86385108376297e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86385108376297e-05×40589641000000     		ar = 76145.0087978594m²