Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35258 / 103234
↖ ↑ ↗
← S 71.358822°
W 83.161011°		 ← 97.63 m → S 71.358822°
W 83.158264°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 71.359700°
W 83.161011°		 ← 97.62 m →
9 528 m²		 S 71.359700°
W 83.158264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269001007080078 y=0.787616729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269001007080078 × 217)
    floor (0.269001007080078 × 131072)
    floor (35258.5)     		tx = 35258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787616729736328 × 217)
    floor (0.787616729736328 × 131072)
    floor (103234.5)     		ty = 103234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35258 / 103234 ti = "17/35258/103234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35258/103234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35258 ÷ 217
    35258 ÷ 131072     		x = 0.268997192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103234 ÷ 217
    103234 ÷ 131072     		y = 0.787612915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268997192382812 × 2 - 1) × π
    -0.462005615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45143345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787612915039062 × 2 - 1) × π
    -0.575225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80712524187688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45143345} λ = -1.45143345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80712524187688))-π/2
    2×atan(0.164125279748396)-π/2
    2×0.162674962213403-π/2
    0.325349924426806-1.57079632675     		φ = -1.24544640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45143345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.161011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24544640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.358822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35258 KachelY 103234 -1.45143345 -1.24544640 -83.161011 -71.358822
    Oben rechts KachelX + 1 35259 KachelY 103234 -1.45138551 -1.24544640 -83.158264 -71.358822
    Unten links KachelX 35258 KachelY + 1 103235 -1.45143345 -1.24546172 -83.161011 -71.359700
    Unten rechts KachelX + 1 35259 KachelY + 1 103235 -1.45138551 -1.24546172 -83.158264 -71.359700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24544640--1.24546172) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24544640--1.24546172) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45143345--1.45138551) × cos(-1.24544640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319640374682127 × 6371000     		do = 97.6263979711018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45143345--1.45138551) × cos(-1.24546172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319625858348153 × 6371000     		du = 97.6219643090557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24544640)-sin(-1.24546172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319640374682127-0.319625858348153)×R²
    abs(-1.45138551--1.45143345)×1.4516333973813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4516333973813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4516333973813e-05×40589641000000     		ar = 9528.48324143667m²