Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35257 / 48009
↖ ↑ ↗
← S 63.881808°
E 13.672486°		 ← 268.88 m → S 63.881808°
E 13.677979°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 63.884226°
E 13.672486°		 ← 268.86 m →
72 288 m²		 S 63.884226°
E 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537986755371094 y=0.732566833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537986755371094 × 216)
    floor (0.537986755371094 × 65536)
    floor (35257.5)     		tx = 35257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732566833496094 × 216)
    floor (0.732566833496094 × 65536)
    floor (48009.5)     		ty = 48009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35257 / 48009 ti = "16/35257/48009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35257/48009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35257 ÷ 216
    35257 ÷ 65536     		x = 0.537979125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48009 ÷ 216
    48009 ÷ 65536     		y = 0.732559204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537979125976562 × 2 - 1) × π
    0.075958251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23862989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732559204101562 × 2 - 1) × π
    -0.465118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46121257421855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23862989} λ = 0.23862989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46121257421855))-π/2
    2×atan(0.231954841674126)-π/2
    2×0.227924219528527-π/2
    0.455848439057054-1.57079632675     		φ = -1.11494789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23862989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.672486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11494789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.881808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35257 KachelY 48009 0.23862989 -1.11494789 13.672486 -63.881808
    Oben rechts KachelX + 1 35258 KachelY 48009 0.23872576 -1.11494789 13.677979 -63.881808
    Unten links KachelX 35257 KachelY + 1 48010 0.23862989 -1.11499009 13.672486 -63.884226
    Unten rechts KachelX + 1 35258 KachelY + 1 48010 0.23872576 -1.11499009 13.677979 -63.884226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11494789--1.11499009) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11494789--1.11499009) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23862989-0.23872576) × cos(-1.11494789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440224273249783 × 6371000     		do = 268.8836021581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23862989-0.23872576) × cos(-1.11499009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440186381990585 × 6371000     		du = 268.860458640392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11494789)-sin(-1.11499009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440224273249783-0.440186381990585)×R²
    abs(0.23872576-0.23862989)×3.7891259197731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7891259197731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7891259197731e-05×40589641000000     		ar = 72287.9123900262m²