Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35256 / 103226
↖ ↑ ↗
← S 71.351798°
W 83.166504°		 ← 97.66 m → S 71.351798°
W 83.163757°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.352676°
W 83.166504°		 ← 97.66 m →
9 538 m²		 S 71.352676°
W 83.163757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268985748291016 y=0.787555694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268985748291016 × 217)
    floor (0.268985748291016 × 131072)
    floor (35256.5)     		tx = 35256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787555694580078 × 217)
    floor (0.787555694580078 × 131072)
    floor (103226.5)     		ty = 103226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35256 / 103226 ti = "17/35256/103226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35256/103226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35256 ÷ 217
    35256 ÷ 131072     		x = 0.26898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103226 ÷ 217
    103226 ÷ 131072     		y = 0.787551879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45152932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787551879882812 × 2 - 1) × π
    -0.575103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80674174667992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45152932} λ = -1.45152932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80674174667992))-π/2
    2×atan(0.164188233075257)-π/2
    2×0.162736263624117-π/2
    0.325472527248234-1.57079632675     		φ = -1.24532380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45152932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.166504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24532380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.351798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35256 KachelY 103226 -1.45152932 -1.24532380 -83.166504 -71.351798
    Oben rechts KachelX + 1 35257 KachelY 103226 -1.45148138 -1.24532380 -83.163757 -71.351798
    Unten links KachelX 35256 KachelY + 1 103227 -1.45152932 -1.24533913 -83.166504 -71.352676
    Unten rechts KachelX + 1 35257 KachelY + 1 103227 -1.45148138 -1.24533913 -83.163757 -71.352676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24532380--1.24533913) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24532380--1.24533913) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45152932--1.45148138) × cos(-1.24532380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319756540552888 × 6371000     		do = 97.6618780181418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45152932--1.45148138) × cos(-1.24533913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319742015344322 × 6371000     		du = 97.6574416455669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24532380)-sin(-1.24533913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319756540552888-0.319742015344322)×R²
    abs(-1.45148138--1.45152932)×1.45252085660963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45252085660963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45252085660963e-05×40589641000000     		ar = 9538.16799071203m²