Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35255 / 47630
↖ ↑ ↗
← S 62.950227°
E 13.661499°		 ← 277.76 m → S 62.950227°
E 13.666992°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
S 62.952725°
E 13.661499°		 ← 277.74 m →
77 153 m²		 S 62.952725°
E 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537956237792969 y=0.726783752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537956237792969 × 216)
    floor (0.537956237792969 × 65536)
    floor (35255.5)     		tx = 35255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726783752441406 × 216)
    floor (0.726783752441406 × 65536)
    floor (47630.5)     		ty = 47630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35255 / 47630 ti = "16/35255/47630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35255/47630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35255 ÷ 216
    35255 ÷ 65536     		x = 0.537948608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47630 ÷ 216
    47630 ÷ 65536     		y = 0.726776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537948608398438 × 2 - 1) × π
    0.075897216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23843814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.45355224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42487640430655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23843814} λ = 0.23843814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42487640430655))-π/2
    2×atan(0.2405381908557)-π/2
    2×0.236053797936701-π/2
    0.472107595873401-1.57079632675     		φ = -1.09868873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23843814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.661499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09868873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.950227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35255 KachelY 47630 0.23843814 -1.09868873 13.661499 -62.950227
    Oben rechts KachelX + 1 35256 KachelY 47630 0.23853401 -1.09868873 13.666992 -62.950227
    Unten links KachelX 35255 KachelY + 1 47631 0.23843814 -1.09873233 13.661499 -62.952725
    Unten rechts KachelX + 1 35256 KachelY + 1 47631 0.23853401 -1.09873233 13.666992 -62.952725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09868873--1.09873233) × R
    4.36000000001435e-05 × 6371000     		dl = 277.775600000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09868873--1.09873233) × R
    4.36000000001435e-05 × 6371000     		dr = 277.775600000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23843814-0.23853401) × cos(-1.09868873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454764344602604 × 6371000     		do = 277.76449991533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23843814-0.23853401) × cos(-1.09873233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454725513495584 × 6371000     		du = 277.740782350067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09868873)-sin(-1.09873233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454764344602604-0.454725513495584)×R²
    abs(0.23853401-0.23843814)×3.88311070201319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88311070201319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88311070201319e-05×40589641000000     		ar = 77152.9065548215m²