Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35254 / 48010
↖ ↑ ↗
← S 63.884226°
E 13.656006°		 ← 268.89 m → S 63.884226°
E 13.661499°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 63.886644°
E 13.656006°		 ← 268.87 m →
72 289 m²		 S 63.886644°
E 13.661499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537940979003906 y=0.732582092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537940979003906 × 216)
    floor (0.537940979003906 × 65536)
    floor (35254.5)     		tx = 35254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732582092285156 × 216)
    floor (0.732582092285156 × 65536)
    floor (48010.5)     		ty = 48010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35254 / 48010 ti = "16/35254/48010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35254/48010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35254 ÷ 216
    35254 ÷ 65536     		x = 0.537933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48010 ÷ 216
    48010 ÷ 65536     		y = 0.732574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537933349609375 × 2 - 1) × π
    0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.46514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46130844801779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23834226} λ = 0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46130844801779))-π/2
    2×atan(0.231932604348208)-π/2
    2×0.227903117449927-π/2
    0.455806234899854-1.57079632675     		φ = -1.11499009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11499009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.884226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35254 KachelY 48010 0.23834226 -1.11499009 13.656006 -63.884226
    Oben rechts KachelX + 1 35255 KachelY 48010 0.23843814 -1.11499009 13.661499 -63.884226
    Unten links KachelX 35254 KachelY + 1 48011 0.23834226 -1.11503229 13.656006 -63.886644
    Unten rechts KachelX + 1 35255 KachelY + 1 48011 0.23843814 -1.11503229 13.661499 -63.886644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11499009--1.11503229) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11499009--1.11503229) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23834226-0.23843814) × cos(-1.11499009) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440186381990585 × 6371000     		do = 268.888502914774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23834226-0.23843814) × cos(-1.11503229) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440148489947486 × 6371000     		du = 268.865356504166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11499009)-sin(-1.11503229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440186381990585-0.440148489947486)×R²
    abs(0.23843814-0.23834226)×3.78920430992857e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.78920430992857e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.78920430992857e-05×40589641000000     		ar = 72289.2295999195m²