Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35254 / 47689
↖ ↑ ↗
← S 63.097244°
E 13.656006°		 ← 276.40 m → S 63.097244°
E 13.661499°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
S 63.099730°
E 13.656006°		 ← 276.37 m →
76 386 m²		 S 63.099730°
E 13.661499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537940979003906 y=0.727684020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537940979003906 × 216)
    floor (0.537940979003906 × 65536)
    floor (35254.5)     		tx = 35254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727684020996094 × 216)
    floor (0.727684020996094 × 65536)
    floor (47689.5)     		ty = 47689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35254 / 47689 ti = "16/35254/47689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35254/47689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35254 ÷ 216
    35254 ÷ 65536     		x = 0.537933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47689 ÷ 216
    47689 ÷ 65536     		y = 0.727676391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537933349609375 × 2 - 1) × π
    0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.455352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43053295846172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23834226} λ = 0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43053295846172))-π/2
    2×atan(0.239181414509862)-π/2
    2×0.234770834147633-π/2
    0.469541668295267-1.57079632675     		φ = -1.10125466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10125466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.097244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35254 KachelY 47689 0.23834226 -1.10125466 13.656006 -63.097244
    Oben rechts KachelX + 1 35255 KachelY 47689 0.23843814 -1.10125466 13.661499 -63.097244
    Unten links KachelX 35254 KachelY + 1 47690 0.23834226 -1.10129804 13.656006 -63.099730
    Unten rechts KachelX + 1 35255 KachelY + 1 47690 0.23843814 -1.10129804 13.661499 -63.099730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10125466--1.10129804) × R
    4.33800000001483e-05 × 6371000     		dl = 276.373980000945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10125466--1.10129804) × R
    4.33800000001483e-05 × 6371000     		dr = 276.373980000945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23834226-0.23843814) × cos(-1.10125466) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45247760247352 × 6371000     		do = 276.39661313778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23834226-0.23843814) × cos(-1.10129804) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.452438916815002 × 6371000     		du = 276.37298194602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10125466)-sin(-1.10129804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45247760247352-0.452438916815002)×R²
    abs(0.23843814-0.23834226)×3.86856585180007e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86856585180007e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86856585180007e-05×40589641000000     		ar = 76385.5665204105m²