Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35251 / 47696
↖ ↑ ↗
← S 63.114637°
E 13.639526°		 ← 276.23 m → S 63.114637°
E 13.645020°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
S 63.117122°
E 13.639526°		 ← 276.21 m →
76 305 m²		 S 63.117122°
E 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537895202636719 y=0.727790832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537895202636719 × 216)
    floor (0.537895202636719 × 65536)
    floor (35251.5)     		tx = 35251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727790832519531 × 216)
    floor (0.727790832519531 × 65536)
    floor (47696.5)     		ty = 47696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35251 / 47696 ti = "16/35251/47696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35251/47696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35251 ÷ 216
    35251 ÷ 65536     		x = 0.537887573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47696 ÷ 216
    47696 ÷ 65536     		y = 0.727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537887573242188 × 2 - 1) × π
    0.075775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23805464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.45556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4312040750564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23805464} λ = 0.23805464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4312040750564))-π/2
    2×atan(0.239020949744751)-π/2
    2×0.234619046961393-π/2
    0.469238093922786-1.57079632675     		φ = -1.10155823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23805464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10155823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.114637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35251 KachelY 47696 0.23805464 -1.10155823 13.639526 -63.114637
    Oben rechts KachelX + 1 35252 KachelY 47696 0.23815052 -1.10155823 13.645020 -63.114637
    Unten links KachelX 35251 KachelY + 1 47697 0.23805464 -1.10160159 13.639526 -63.117122
    Unten rechts KachelX + 1 35252 KachelY + 1 47697 0.23815052 -1.10160159 13.645020 -63.117122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10155823--1.10160159) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dl = 276.246560000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10155823--1.10160159) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dr = 276.246560000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23805464-0.23815052) × cos(-1.10155823) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.452206865259001 × 6371000     		do = 276.2312329096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23805464-0.23815052) × cos(-1.10160159) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.452168191482557 × 6371000     		du = 276.207608976022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10155823)-sin(-1.10160159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452206865259001-0.452168191482557)×R²
    abs(0.23815052-0.23805464)×3.86737764438427e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86737764438427e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86737764438427e-05×40589641000000     		ar = 76304.6648527037m²