Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35251 / 47628
↖ ↑ ↗
← S 62.945230°
E 13.639526°		 ← 277.84 m → S 62.945230°
E 13.645020°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
S 62.947729°
E 13.639526°		 ← 277.82 m →
77 192 m²		 S 62.947729°
E 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537895202636719 y=0.726753234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537895202636719 × 216)
    floor (0.537895202636719 × 65536)
    floor (35251.5)     		tx = 35251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726753234863281 × 216)
    floor (0.726753234863281 × 65536)
    floor (47628.5)     		ty = 47628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35251 / 47628 ti = "16/35251/47628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35251/47628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35251 ÷ 216
    35251 ÷ 65536     		x = 0.537887573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47628 ÷ 216
    47628 ÷ 65536     		y = 0.72674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537887573242188 × 2 - 1) × π
    0.075775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23805464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23805464} λ = 0.23805464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42468465670807))-π/2
    2×atan(0.240584317898373)-π/2
    2×0.236097401645098-π/2
    0.472194803290195-1.57079632675     		φ = -1.09860152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23805464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09860152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.945230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35251 KachelY 47628 0.23805464 -1.09860152 13.639526 -62.945230
    Oben rechts KachelX + 1 35252 KachelY 47628 0.23815052 -1.09860152 13.645020 -62.945230
    Unten links KachelX 35251 KachelY + 1 47629 0.23805464 -1.09864513 13.639526 -62.947729
    Unten rechts KachelX + 1 35252 KachelY + 1 47629 0.23815052 -1.09864513 13.645020 -62.947729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09860152--1.09864513) × R
    4.36099999998607e-05 × 6371000     		dl = 277.839309999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09860152--1.09864513) × R
    4.36099999998607e-05 × 6371000     		dr = 277.839309999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23805464-0.23815052) × cos(-1.09860152) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.454842013128825 × 6371000     		do = 277.840916885901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23805464-0.23815052) × cos(-1.09864513) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		du = 277.817192462828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09860152)-sin(-1.09864513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454842013128825-0.454803174845135)×R²
    abs(0.23815052-0.23805464)×3.88382836898904e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.88382836898904e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.88382836898904e-05×40589641000000     		ar = 77191.8328608588m²