Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35250 / 47698
↖ ↑ ↗
← S 63.119605°
E 13.634033°		 ← 276.16 m → S 63.119605°
E 13.639526°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
S 63.122089°
E 13.634033°		 ← 276.13 m →
76 266 m²		 S 63.122089°
E 13.639526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537879943847656 y=0.727821350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537879943847656 × 216)
    floor (0.537879943847656 × 65536)
    floor (35250.5)     		tx = 35250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727821350097656 × 216)
    floor (0.727821350097656 × 65536)
    floor (47698.5)     		ty = 47698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35250 / 47698 ti = "16/35250/47698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35250/47698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35250 ÷ 216
    35250 ÷ 65536     		x = 0.537872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47698 ÷ 216
    47698 ÷ 65536     		y = 0.727813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537872314453125 × 2 - 1) × π
    0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.45562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43139582265488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23795877} λ = 0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43139582265488))-π/2
    2×atan(0.238975122445429)-π/2
    2×0.234575695878582-π/2
    0.469151391757165-1.57079632675     		φ = -1.10164493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10164493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.119605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35250 KachelY 47698 0.23795877 -1.10164493 13.634033 -63.119605
    Oben rechts KachelX + 1 35251 KachelY 47698 0.23805464 -1.10164493 13.639526 -63.119605
    Unten links KachelX 35250 KachelY + 1 47699 0.23795877 -1.10168828 13.634033 -63.122089
    Unten rechts KachelX + 1 35251 KachelY + 1 47699 0.23805464 -1.10168828 13.639526 -63.122089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10164493--1.10168828) × R
    4.33500000001086e-05 × 6371000     		dl = 276.182850000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10164493--1.10168828) × R
    4.33500000001086e-05 × 6371000     		dr = 276.182850000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23795877-0.23805464) × cos(-1.10164493) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.452129534695042 × 6371000     		do = 276.155190247596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23795877-0.23805464) × cos(-1.10168828) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.452090868138548 × 6371000     		du = 276.131573187782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10164493)-sin(-1.10168828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452129534695042-0.452090868138548)×R²
    abs(0.23805464-0.23795877)×3.86665564936495e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.86665564936495e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.86665564936495e-05×40589641000000     		ar = 76266.0661833037m²