Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35250 / 103118
↖ ↑ ↗
← S 71.256715°
W 83.182983°		 ← 98.14 m → S 71.256715°
W 83.180237°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.257598°
W 83.182983°		 ← 98.14 m →
9 635 m²		 S 71.257598°
W 83.180237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268939971923828 y=0.786731719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268939971923828 × 217)
    floor (0.268939971923828 × 131072)
    floor (35250.5)     		tx = 35250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786731719970703 × 217)
    floor (0.786731719970703 × 131072)
    floor (103118.5)     		ty = 103118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35250 / 103118 ti = "17/35250/103118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35250/103118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35250 ÷ 217
    35250 ÷ 131072     		x = 0.268936157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103118 ÷ 217
    103118 ÷ 131072     		y = 0.786727905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268936157226562 × 2 - 1) × π
    -0.462127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45181694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786727905273438 × 2 - 1) × π
    -0.573455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80156456152095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45181694} λ = -1.45181694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80156456152095))-π/2
    2×atan(0.165040470149819)-π/2
    2×0.163566016116347-π/2
    0.327132032232694-1.57079632675     		φ = -1.24366429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45181694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.182983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24366429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.256715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35250 KachelY 103118 -1.45181694 -1.24366429 -83.182983 -71.256715
    Oben rechts KachelX + 1 35251 KachelY 103118 -1.45176900 -1.24366429 -83.180237 -71.256715
    Unten links KachelX 35250 KachelY + 1 103119 -1.45181694 -1.24367970 -83.182983 -71.257598
    Unten rechts KachelX + 1 35251 KachelY + 1 103119 -1.45176900 -1.24367970 -83.180237 -71.257598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24366429--1.24367970) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24366429--1.24367970) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45181694--1.45176900) × cos(-1.24366429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321328484822076 × 6371000     		do = 98.1419902597971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45181694--1.45176900) × cos(-1.24367970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321313892010203 × 6371000     		du = 98.1375332394319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24366429)-sin(-1.24367970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321328484822076-0.321313892010203)×R²
    abs(-1.45176900--1.45181694)×1.45928118736594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45928118736594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45928118736594e-05×40589641000000     		ar = 9635.0781849385m²