Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35249 / 47697
↖ ↑ ↗
← S 63.117122°
E 13.628540°		 ← 276.18 m → S 63.117122°
E 13.634033°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
S 63.119605°
E 13.628540°		 ← 276.16 m →
76 255 m²		 S 63.119605°
E 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537864685058594 y=0.727806091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537864685058594 × 216)
    floor (0.537864685058594 × 65536)
    floor (35249.5)     		tx = 35249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727806091308594 × 216)
    floor (0.727806091308594 × 65536)
    floor (47697.5)     		ty = 47697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35249 / 47697 ti = "16/35249/47697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35249/47697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35249 ÷ 216
    35249 ÷ 65536     		x = 0.537857055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47697 ÷ 216
    47697 ÷ 65536     		y = 0.727798461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537857055664062 × 2 - 1) × π
    0.075714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23786290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727798461914062 × 2 - 1) × π
    -0.455596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43129994885564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23786290} λ = 0.23786290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43129994885564))-π/2
    2×atan(0.238998034996681)-π/2
    2×0.234597370493218-π/2
    0.469194740986436-1.57079632675     		φ = -1.10160159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23786290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10160159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.117122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35249 KachelY 47697 0.23786290 -1.10160159 13.628540 -63.117122
    Oben rechts KachelX + 1 35250 KachelY 47697 0.23795877 -1.10160159 13.634033 -63.117122
    Unten links KachelX 35249 KachelY + 1 47698 0.23786290 -1.10164493 13.628540 -63.119605
    Unten rechts KachelX + 1 35250 KachelY + 1 47698 0.23795877 -1.10164493 13.634033 -63.119605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10160159--1.10164493) × R
    4.33399999999473e-05 × 6371000     		dl = 276.119139999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10160159--1.10164493) × R
    4.33399999999473e-05 × 6371000     		dr = 276.119139999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23786290-0.23795877) × cos(-1.10160159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452168191482557 × 6371000     		do = 276.178801340558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23786290-0.23795877) × cos(-1.10164493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452129534695042 × 6371000     		du = 276.155190247516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10160159)-sin(-1.10164493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452168191482557-0.452129534695042)×R²
    abs(0.23795877-0.23786290)×3.86567875145793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86567875145793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86567875145793e-05×40589641000000     		ar = 76254.9933868479m²