Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35248 / 47676
↖ ↑ ↗
← S 63.064914°
E 13.623047°		 ← 276.70 m → S 63.064914°
E 13.628540°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
S 63.067402°
E 13.623047°		 ← 276.68 m →
76 541 m²		 S 63.067402°
E 13.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537849426269531 y=0.727485656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537849426269531 × 216)
    floor (0.537849426269531 × 65536)
    floor (35248.5)     		tx = 35248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727485656738281 × 216)
    floor (0.727485656738281 × 65536)
    floor (47676.5)     		ty = 47676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35248 / 47676 ti = "16/35248/47676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35248/47676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35248 ÷ 216
    35248 ÷ 65536     		x = 0.537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47676 ÷ 216
    47676 ÷ 65536     		y = 0.72747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537841796875 × 2 - 1) × π
    0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.4549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42928659907159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23776702} λ = 0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42928659907159))-π/2
    2×atan(0.23947970636259)-π/2
    2×0.235052965749638-π/2
    0.470105931499276-1.57079632675     		φ = -1.10069040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10069040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.064914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35248 KachelY 47676 0.23776702 -1.10069040 13.623047 -63.064914
    Oben rechts KachelX + 1 35249 KachelY 47676 0.23786290 -1.10069040 13.628540 -63.064914
    Unten links KachelX 35248 KachelY + 1 47677 0.23776702 -1.10073382 13.623047 -63.067402
    Unten rechts KachelX + 1 35249 KachelY + 1 47677 0.23786290 -1.10073382 13.628540 -63.067402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10069040--1.10073382) × R
    4.34200000001272e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10069040--1.10073382) × R
    4.34200000001272e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23776702-0.23786290) × cos(-1.10069040) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45298072380929 × 6371000     		do = 276.703945550355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23776702-0.23786290) × cos(-1.10073382) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.452942013570423 × 6371000     		du = 276.680299343652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10069040)-sin(-1.10073382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45298072380929-0.452942013570423)×R²
    abs(0.23786290-0.23776702)×3.87102388669791e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87102388669791e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87102388669791e-05×40589641000000     		ar = 76541.0153478629m²