Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35248 / 103119
↖ ↑ ↗
← S 71.257598°
W 83.188477°		 ← 98.14 m → S 71.257598°
W 83.185730°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
S 71.258480°
W 83.188477°		 ← 98.13 m →
9 628 m²		 S 71.258480°
W 83.185730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268924713134766 y=0.786739349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268924713134766 × 217)
    floor (0.268924713134766 × 131072)
    floor (35248.5)     		tx = 35248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786739349365234 × 217)
    floor (0.786739349365234 × 131072)
    floor (103119.5)     		ty = 103119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35248 / 103119 ti = "17/35248/103119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35248/103119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35248 ÷ 217
    35248 ÷ 131072     		x = 0.2689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103119 ÷ 217
    103119 ÷ 131072     		y = 0.786735534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45191282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786735534667969 × 2 - 1) × π
    -0.573471069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.80161249842057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45191282} λ = -1.45191282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80161249842057))-π/2
    2×atan(0.165032558810992)-π/2
    2×0.163558314545596-π/2
    0.327116629091193-1.57079632675     		φ = -1.24367970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45191282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24367970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.257598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35248 KachelY 103119 -1.45191282 -1.24367970 -83.188477 -71.257598
    Oben rechts KachelX + 1 35249 KachelY 103119 -1.45186488 -1.24367970 -83.185730 -71.257598
    Unten links KachelX 35248 KachelY + 1 103120 -1.45191282 -1.24369510 -83.188477 -71.258480
    Unten rechts KachelX + 1 35249 KachelY + 1 103120 -1.45186488 -1.24369510 -83.185730 -71.258480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24367970--1.24369510) × R
    1.54000000001098e-05 × 6371000     		dl = 98.1134000006993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24367970--1.24369510) × R
    1.54000000001098e-05 × 6371000     		dr = 98.1134000006993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45191282--1.45186488) × cos(-1.24367970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321313892010203 × 6371000     		do = 98.1375332394319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45191282--1.45186488) × cos(-1.24369510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321299308591804 × 6371000     		du = 98.1330790880758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24367970)-sin(-1.24369510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321313892010203-0.321299308591804)×R²
    abs(-1.45186488--1.45191282)×1.45834183985505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45834183985505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45834183985505e-05×40589641000000     		ar = 9628.38854799839m²