Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35247 / 103217
↖ ↑ ↗
← S 71.343892°
W 83.191223°		 ← 97.68 m → S 71.343892°
W 83.188477°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.344771°
W 83.191223°		 ← 97.68 m →
9 540 m²		 S 71.344771°
W 83.188477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268917083740234 y=0.787487030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268917083740234 × 217)
    floor (0.268917083740234 × 131072)
    floor (35247.5)     		tx = 35247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787487030029297 × 217)
    floor (0.787487030029297 × 131072)
    floor (103217.5)     		ty = 103217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35247 / 103217 ti = "17/35247/103217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35247/103217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35247 ÷ 217
    35247 ÷ 131072     		x = 0.268913269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103217 ÷ 217
    103217 ÷ 131072     		y = 0.787483215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268913269042969 × 2 - 1) × π
    -0.462173461914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.45196075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787483215332031 × 2 - 1) × π
    -0.574966430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.80631031458334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45196075} λ = -1.45196075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80631031458334))-π/2
    2×atan(0.164259084431562)-π/2
    2×0.162805254341448-π/2
    0.325610508682896-1.57079632675     		φ = -1.24518582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45196075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.191223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24518582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.343892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35247 KachelY 103217 -1.45196075 -1.24518582 -83.191223 -71.343892
    Oben rechts KachelX + 1 35248 KachelY 103217 -1.45191282 -1.24518582 -83.188477 -71.343892
    Unten links KachelX 35247 KachelY + 1 103218 -1.45196075 -1.24520115 -83.191223 -71.344771
    Unten rechts KachelX + 1 35248 KachelY + 1 103218 -1.45191282 -1.24520115 -83.188477 -71.344771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24518582--1.24520115) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dl = 97.6674299991658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24518582--1.24520115) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dr = 97.6674299991658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45196075--1.45191282) × cos(-1.24518582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319887273522575 × 6371000     		do = 97.6814272140786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45196075--1.45191282) × cos(-1.24520115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319872748990492 × 6371000     		du = 97.6769919734768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24518582)-sin(-1.24520115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319887273522575-0.319872748990492)×R²
    abs(-1.45191282--1.45196075)×1.45245320832266e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45245320832266e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45245320832266e-05×40589641000000     		ar = 9540.07736553885m²