Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35245 / 47780
↖ ↑ ↗
← S 63.322550°
E 13.606567°		 ← 274.22 m → S 63.322550°
E 13.612060°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
S 63.325016°
E 13.606567°		 ← 274.20 m →
75 191 m²		 S 63.325016°
E 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537803649902344 y=0.729072570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537803649902344 × 216)
    floor (0.537803649902344 × 65536)
    floor (35245.5)     		tx = 35245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729072570800781 × 216)
    floor (0.729072570800781 × 65536)
    floor (47780.5)     		ty = 47780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35245 / 47780 ti = "16/35245/47780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35245/47780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35245 ÷ 216
    35245 ÷ 65536     		x = 0.537796020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47780 ÷ 216
    47780 ÷ 65536     		y = 0.72906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537796020507812 × 2 - 1) × π
    0.075592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23747940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.4581298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43925747419257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23747940} λ = 0.23747940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43925747419257))-π/2
    2×atan(0.237103748988027)-π/2
    2×0.232804673846473-π/2
    0.465609347692946-1.57079632675     		φ = -1.10518698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23747940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.606567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10518698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.322550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35245 KachelY 47780 0.23747940 -1.10518698 13.606567 -63.322550
    Oben rechts KachelX + 1 35246 KachelY 47780 0.23757527 -1.10518698 13.612060 -63.322550
    Unten links KachelX 35245 KachelY + 1 47781 0.23747940 -1.10523002 13.606567 -63.325016
    Unten rechts KachelX + 1 35246 KachelY + 1 47781 0.23757527 -1.10523002 13.612060 -63.325016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10518698--1.10523002) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10518698--1.10523002) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23747940-0.23757527) × cos(-1.10518698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448967365467662 × 6371000     		do = 274.223775956763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23747940-0.23757527) × cos(-1.10523002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448928906739254 × 6371000     		du = 274.200285835801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10518698)-sin(-1.10523002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448967365467662-0.448928906739254)×R²
    abs(0.23757527-0.23747940)×3.84587284087412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84587284087412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84587284087412e-05×40589641000000     		ar = 75191.0887054883m²