Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35245 / 103215
↖ ↑ ↗
← S 71.342135°
W 83.196717°		 ← 97.71 m → S 71.342135°
W 83.193970°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.343013°
W 83.196717°		 ← 97.71 m →
9 543 m²		 S 71.343013°
W 83.193970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268901824951172 y=0.787471771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268901824951172 × 217)
    floor (0.268901824951172 × 131072)
    floor (35245.5)     		tx = 35245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787471771240234 × 217)
    floor (0.787471771240234 × 131072)
    floor (103215.5)     		ty = 103215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35245 / 103215 ti = "17/35245/103215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35245/103215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35245 ÷ 217
    35245 ÷ 131072     		x = 0.268898010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103215 ÷ 217
    103215 ÷ 131072     		y = 0.787467956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268898010253906 × 2 - 1) × π
    -0.462203979492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.45205663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787467956542969 × 2 - 1) × π
    -0.574935913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.8062144407841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45205663} λ = -1.45205663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8062144407841))-π/2
    2×atan(0.164274833328987)-π/2
    2×0.162820589442132-π/2
    0.325641178884265-1.57079632675     		φ = -1.24515515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45205663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.196717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24515515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.342135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35245 KachelY 103215 -1.45205663 -1.24515515 -83.196717 -71.342135
    Oben rechts KachelX + 1 35246 KachelY 103215 -1.45200869 -1.24515515 -83.193970 -71.342135
    Unten links KachelX 35245 KachelY + 1 103216 -1.45205663 -1.24517048 -83.196717 -71.343013
    Unten rechts KachelX + 1 35246 KachelY + 1 103216 -1.45200869 -1.24517048 -83.193970 -71.343013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24515515--1.24517048) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24515515--1.24517048) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45205663--1.45200869) × cos(-1.24515515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319916331835668 × 6371000     		do = 97.7106823889302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45205663--1.45200869) × cos(-1.24517048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319901807453989 × 6371000     		du = 97.7062462689081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24515515)-sin(-1.24517048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319916331835668-0.319901807453989)×R²
    abs(-1.45200869--1.45205663)×1.45243816782603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45243816782603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45243816782603e-05×40589641000000     		ar = 9542.93460058396m²