Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35245 / 103133
↖ ↑ ↗
← S 71.269949°
W 83.196717°		 ← 98.08 m → S 71.269949°
W 83.193970°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.270831°
W 83.196717°		 ← 98.07 m →
9 616 m²		 S 71.270831°
W 83.193970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268901824951172 y=0.786846160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268901824951172 × 217)
    floor (0.268901824951172 × 131072)
    floor (35245.5)     		tx = 35245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786846160888672 × 217)
    floor (0.786846160888672 × 131072)
    floor (103133.5)     		ty = 103133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35245 / 103133 ti = "17/35245/103133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35245/103133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35245 ÷ 217
    35245 ÷ 131072     		x = 0.268898010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103133 ÷ 217
    103133 ÷ 131072     		y = 0.786842346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268898010253906 × 2 - 1) × π
    -0.462203979492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.45205663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786842346191406 × 2 - 1) × π
    -0.573684692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80228361501525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45205663} λ = -1.45205663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80228361501525))-π/2
    2×atan(0.164921839878923)-π/2
    2×0.16345052925716-π/2
    0.32690105851432-1.57079632675     		φ = -1.24389527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45205663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.196717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24389527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.269949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35245 KachelY 103133 -1.45205663 -1.24389527 -83.196717 -71.269949
    Oben rechts KachelX + 1 35246 KachelY 103133 -1.45200869 -1.24389527 -83.193970 -71.269949
    Unten links KachelX 35245 KachelY + 1 103134 -1.45205663 -1.24391066 -83.196717 -71.270831
    Unten rechts KachelX + 1 35246 KachelY + 1 103134 -1.45200869 -1.24391066 -83.193970 -71.270831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24389527--1.24391066) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24389527--1.24391066) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45205663--1.45200869) × cos(-1.24389527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321109745631003 × 6371000     		do = 98.0751816804965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45205663--1.45200869) × cos(-1.24391066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321095170616746 × 6371000     		du = 98.0707300959816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24389527)-sin(-1.24391066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321109745631003-0.321095170616746)×R²
    abs(-1.45200869--1.45205663)×1.45750142567791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45750142567791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45750142567791e-05×40589641000000     		ar = 9616.02292222089m²