Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35244 / 47795
↖ ↑ ↗
← S 63.359520°
E 13.601074°		 ← 273.87 m → S 63.359520°
E 13.606567°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 63.361982°
E 13.601074°		 ← 273.85 m →
74 990 m²		 S 63.361982°
E 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537788391113281 y=0.729301452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537788391113281 × 216)
    floor (0.537788391113281 × 65536)
    floor (35244.5)     		tx = 35244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729301452636719 × 216)
    floor (0.729301452636719 × 65536)
    floor (47795.5)     		ty = 47795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35244 / 47795 ti = "16/35244/47795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35244/47795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35244 ÷ 216
    35244 ÷ 65536     		x = 0.53778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47795 ÷ 216
    47795 ÷ 65536     		y = 0.729293823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53778076171875 × 2 - 1) × π
    0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729293823242188 × 2 - 1) × π
    -0.458587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44069558118117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23738353} λ = 0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44069558118117))-π/2
    2×atan(0.236763013495354)-π/2
    2×0.232482049648659-π/2
    0.464964099297318-1.57079632675     		φ = -1.10583223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10583223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.359520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35244 KachelY 47795 0.23738353 -1.10583223 13.601074 -63.359520
    Oben rechts KachelX + 1 35245 KachelY 47795 0.23747940 -1.10583223 13.606567 -63.359520
    Unten links KachelX 35244 KachelY + 1 47796 0.23738353 -1.10587521 13.601074 -63.361982
    Unten rechts KachelX + 1 35245 KachelY + 1 47796 0.23747940 -1.10587521 13.606567 -63.361982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10583223--1.10587521) × R
    4.29799999999148e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10583223--1.10587521) × R
    4.29799999999148e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23738353-0.23747940) × cos(-1.10583223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448390710097628 × 6371000     		do = 273.871561909241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23738353-0.23747940) × cos(-1.10587521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448352292540653 × 6371000     		du = 273.848096935287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10583223)-sin(-1.10587521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448390710097628-0.448352292540653)×R²
    abs(0.23747940-0.23738353)×3.84175569748679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84175569748679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84175569748679e-05×40589641000000     		ar = 74989.8266416188m²