Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35244 / 47662
↖ ↑ ↗
← S 63.030057°
E 13.601074°		 ← 277.01 m → S 63.030057°
E 13.606567°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
S 63.032548°
E 13.601074°		 ← 276.98 m →
76 713 m²		 S 63.032548°
E 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537788391113281 y=0.727272033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537788391113281 × 216)
    floor (0.537788391113281 × 65536)
    floor (35244.5)     		tx = 35244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727272033691406 × 216)
    floor (0.727272033691406 × 65536)
    floor (47662.5)     		ty = 47662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35244 / 47662 ti = "16/35244/47662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35244/47662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35244 ÷ 216
    35244 ÷ 65536     		x = 0.53778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47662 ÷ 216
    47662 ÷ 65536     		y = 0.727264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53778076171875 × 2 - 1) × π
    0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.45452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42794436588223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23738353} λ = 0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42794436588223))-π/2
    2×atan(0.239801359791312)-π/2
    2×0.23535715057629-π/2
    0.47071430115258-1.57079632675     		φ = -1.10008203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10008203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.030057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35244 KachelY 47662 0.23738353 -1.10008203 13.601074 -63.030057
    Oben rechts KachelX + 1 35245 KachelY 47662 0.23747940 -1.10008203 13.606567 -63.030057
    Unten links KachelX 35244 KachelY + 1 47663 0.23738353 -1.10012550 13.601074 -63.032548
    Unten rechts KachelX + 1 35245 KachelY + 1 47663 0.23747940 -1.10012550 13.606567 -63.032548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10008203--1.10012550) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dl = 276.947370000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10008203--1.10012550) × R
    4.34700000000454e-05 × 6371000     		dr = 276.947370000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23738353-0.23747940) × cos(-1.10008203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453523014159807 × 6371000     		do = 277.006310462341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23738353-0.23747940) × cos(-1.10012550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453484271330057 × 6371000     		du = 276.982646815754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10008203)-sin(-1.10012550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453523014159807-0.453484271330057)×R²
    abs(0.23747940-0.23738353)×3.8742829750249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8742829750249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8742829750249e-05×40589641000000     		ar = 76712.8923755591m²