Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35242 / 103130
↖ ↑ ↗
← S 71.267303°
W 83.204956°		 ← 98.09 m → S 71.267303°
W 83.202209°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.268185°
W 83.204956°		 ← 98.08 m →
9 617 m²		 S 71.268185°
W 83.202209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268878936767578 y=0.786823272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268878936767578 × 217)
    floor (0.268878936767578 × 131072)
    floor (35242.5)     		tx = 35242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786823272705078 × 217)
    floor (0.786823272705078 × 131072)
    floor (103130.5)     		ty = 103130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35242 / 103130 ti = "17/35242/103130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35242/103130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35242 ÷ 217
    35242 ÷ 131072     		x = 0.268875122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103130 ÷ 217
    103130 ÷ 131072     		y = 0.786819458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268875122070312 × 2 - 1) × π
    -0.462249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45220044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786819458007812 × 2 - 1) × π
    -0.573638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80213980431639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45220044} λ = -1.45220044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80213980431639))-π/2
    2×atan(0.164945559109472)-π/2
    2×0.16347362033814-π/2
    0.326947240676281-1.57079632675     		φ = -1.24384909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45220044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.204956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24384909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.267303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35242 KachelY 103130 -1.45220044 -1.24384909 -83.204956 -71.267303
    Oben rechts KachelX + 1 35243 KachelY 103130 -1.45215250 -1.24384909 -83.202209 -71.267303
    Unten links KachelX 35242 KachelY + 1 103131 -1.45220044 -1.24386448 -83.204956 -71.268185
    Unten rechts KachelX + 1 35243 KachelY + 1 103131 -1.45215250 -1.24386448 -83.202209 -71.268185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24384909--1.24386448) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24384909--1.24386448) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45220044--1.45215250) × cos(-1.24384909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321153479687698 × 6371000     		do = 98.0885391871258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45220044--1.45215250) × cos(-1.24386448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321138904901668 × 6371000     		du = 98.0840876723171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24384909)-sin(-1.24386448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321153479687698-0.321138904901668)×R²
    abs(-1.45215250--1.45220044)×1.45747860304524e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45747860304524e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45747860304524e-05×40589641000000     		ar = 9617.33262511032m²