Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35240 / 48073
↖ ↑ ↗
← S 64.036149°
E 13.579101°		 ← 267.43 m → S 64.036149°
E 13.584595°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
S 64.038554°
E 13.579101°		 ← 267.41 m →
71 506 m²		 S 64.038554°
E 13.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537727355957031 y=0.733543395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537727355957031 × 216)
    floor (0.537727355957031 × 65536)
    floor (35240.5)     		tx = 35240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733543395996094 × 216)
    floor (0.733543395996094 × 65536)
    floor (48073.5)     		ty = 48073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35240 / 48073 ti = "16/35240/48073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35240/48073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35240 ÷ 216
    35240 ÷ 65536     		x = 0.5377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48073 ÷ 216
    48073 ÷ 65536     		y = 0.733535766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5377197265625 × 2 - 1) × π
    0.075439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23700003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733535766601562 × 2 - 1) × π
    -0.467071533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46734849736992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23700003} λ = 0.23700003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46734849736992))-π/2
    2×atan(0.23053594217192)-π/2
    2×0.226577343629142-π/2
    0.453154687258283-1.57079632675     		φ = -1.11764164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23700003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11764164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.036149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35240 KachelY 48073 0.23700003 -1.11764164 13.579101 -64.036149
    Oben rechts KachelX + 1 35241 KachelY 48073 0.23709591 -1.11764164 13.584595 -64.036149
    Unten links KachelX 35240 KachelY + 1 48074 0.23700003 -1.11768361 13.579101 -64.038554
    Unten rechts KachelX + 1 35241 KachelY + 1 48074 0.23709591 -1.11768361 13.584595 -64.038554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11764164--1.11768361) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11764164--1.11768361) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23700003-0.23709591) × cos(-1.11764164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437803993585538 × 6371000     		do = 267.433217431616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23700003-0.23709591) × cos(-1.11768361) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437766259213425 × 6371000     		du = 267.410167334564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11764164)-sin(-1.11768361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437803993585538-0.437766259213425)×R²
    abs(0.23709591-0.23700003)×3.77343721136292e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77343721136292e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77343721136292e-05×40589641000000     		ar = 71506.1189938844m²