Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3524 / 868
↖ ↑ ↗
← N 80.386396°
W 25.136719°		 ← 816.07 m → N 80.386396°
W 25.092773°		 →
↑
816.38 m
↓
↑
816.38 m
↓
N 80.379054°
W 25.136719°		 ← 816.69 m →
666 474 m²		 N 80.379054°
W 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43023681640625 y=0.10601806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43023681640625 × 213)
    floor (0.43023681640625 × 8192)
    floor (3524.5)     		tx = 3524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10601806640625 × 213)
    floor (0.10601806640625 × 8192)
    floor (868.5)     		ty = 868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3524 / 868 ti = "13/3524/868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3524/868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3524 ÷ 213
    3524 ÷ 8192     		x = 0.43017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 868 ÷ 213
    868 ÷ 8192     		y = 0.10595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10595703125 × 2 - 1) × π
    0.7880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47584499157666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43871851} λ = -0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47584499157666))-π/2
    2×atan(11.8917512985547)-π/2
    2×1.48690180391174-π/2
    2.97380360782348-1.57079632675     		φ = 1.40300728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40300728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.386396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3524 KachelY 868 -0.43871851 1.40300728 -25.136719 80.386396
    Oben rechts KachelX + 1 3525 KachelY 868 -0.43795151 1.40300728 -25.092773 80.386396
    Unten links KachelX 3524 KachelY + 1 869 -0.43871851 1.40287914 -25.136719 80.379054
    Unten rechts KachelX + 1 3525 KachelY + 1 869 -0.43795151 1.40287914 -25.092773 80.379054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40300728-1.40287914) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dl = 816.379939999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40300728-1.40287914) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dr = 816.379939999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43871851--0.43795151) × cos(1.40300728) × R
    0.000767000000000018 × 0.167002855534975 × 6371000     		do = 816.068972734437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43871851--0.43795151) × cos(1.40287914) × R
    0.000767000000000018 × 0.167129194618173 × 6371000     		du = 816.686335865814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40300728)-sin(1.40287914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167002855534975-0.167129194618173)×R²
    abs(-0.43795151--0.43871851)×0.000126339083198285×R²
    0.000767000000000018×0.000126339083198285×6371000²
    0.000767000000000018×0.000126339083198285×40589641000000     		ar = 666474.341344985m²