Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3524 / 5462
↖ ↑ ↗
← S 51.344339°
W 25.136719°		 ← 3 052.33 m → S 51.344339°
W 25.092773°		 →
↑
3 051.39 m
↓
↑
3 051.39 m
↓
S 51.371780°
W 25.136719°		 ← 3 050.50 m →
9 311 067 m²		 S 51.371780°
W 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43023681640625 y=0.66680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43023681640625 × 213)
    floor (0.43023681640625 × 8192)
    floor (3524.5)     		tx = 3524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66680908203125 × 213)
    floor (0.66680908203125 × 8192)
    floor (5462.5)     		ty = 5462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3524 / 5462 ti = "13/3524/5462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3524/5462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3524 ÷ 213
    3524 ÷ 8192     		x = 0.43017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5462 ÷ 213
    5462 ÷ 8192     		y = 0.666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.33349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04770887809595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43871851} λ = -0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04770887809595))-π/2
    2×atan(0.350740418308572)-π/2
    2×0.337334282463565-π/2
    0.67466856492713-1.57079632675     		φ = -0.89612776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89612776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.344339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3524 KachelY 5462 -0.43871851 -0.89612776 -25.136719 -51.344339
    Oben rechts KachelX + 1 3525 KachelY 5462 -0.43795151 -0.89612776 -25.092773 -51.344339
    Unten links KachelX 3524 KachelY + 1 5463 -0.43871851 -0.89660671 -25.136719 -51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 3525 KachelY + 1 5463 -0.43795151 -0.89660671 -25.092773 -51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89612776--0.89660671) × R
    0.000478949999999978 × 6371000     		dl = 3051.39044999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89612776--0.89660671) × R
    0.000478949999999978 × 6371000     		dr = 3051.39044999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43871851--0.43795151) × cos(-0.89612776) × R
    0.000767000000000018 × 0.624638530203526 × 6371000     		do = 3052.33178223582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43871851--0.43795151) × cos(-0.89660671) × R
    0.000767000000000018 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 3050.50376817576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89612776)-sin(-0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624638530203526-0.624264439804078)×R²
    abs(-0.43795151--0.43871851)×0.00037409039944869×R²
    0.000767000000000018×0.00037409039944869×6371000²
    0.000767000000000018×0.00037409039944869×40589641000000     		ar = 9311067.23621527m²