Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35237 / 47614
↖ ↑ ↗
← S 62.910230°
E 13.562622°		 ← 278.14 m → S 62.910230°
E 13.568115°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
S 62.912732°
E 13.562622°		 ← 278.12 m →
77 365 m²		 S 62.912732°
E 13.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537681579589844 y=0.726539611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537681579589844 × 216)
    floor (0.537681579589844 × 65536)
    floor (35237.5)     		tx = 35237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726539611816406 × 216)
    floor (0.726539611816406 × 65536)
    floor (47614.5)     		ty = 47614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35237 / 47614 ti = "16/35237/47614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35237/47614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35237 ÷ 216
    35237 ÷ 65536     		x = 0.537673950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47614 ÷ 216
    47614 ÷ 65536     		y = 0.726531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537673950195312 × 2 - 1) × π
    0.075347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23671241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.45306396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42334242351871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23671241} λ = 0.23671241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42334242351871))-π/2
    2×atan(0.240907454968833)-π/2
    2×0.236402836162037-π/2
    0.472805672324074-1.57079632675     		φ = -1.09799065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23671241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09799065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.910230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35237 KachelY 47614 0.23671241 -1.09799065 13.562622 -62.910230
    Oben rechts KachelX + 1 35238 KachelY 47614 0.23680828 -1.09799065 13.568115 -62.910230
    Unten links KachelX 35237 KachelY + 1 47615 0.23671241 -1.09803431 13.562622 -62.912732
    Unten rechts KachelX + 1 35238 KachelY + 1 47615 0.23680828 -1.09803431 13.568115 -62.912732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09799065--1.09803431) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09799065--1.09803431) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23671241-0.23680828) × cos(-1.09799065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455385952035487 × 6371000     		do = 278.144170133076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23671241-0.23680828) × cos(-1.09803431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455347081359836 × 6371000     		du = 278.120428399777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09799065)-sin(-1.09803431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455385952035487-0.455347081359836)×R²
    abs(0.23680828-0.23671241)×3.88706756517254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88706756517254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88706756517254e-05×40589641000000     		ar = 77364.6851730479m²