Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35235 / 47773
↖ ↑ ↗
← S 63.305281°
E 13.551636°		 ← 274.42 m → S 63.305281°
E 13.557129°		 →
↑
274.40 m
↓
↑
274.40 m
↓
S 63.307748°
E 13.551636°		 ← 274.39 m →
75 296 m²		 S 63.307748°
E 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537651062011719 y=0.728965759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537651062011719 × 216)
    floor (0.537651062011719 × 65536)
    floor (35235.5)     		tx = 35235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728965759277344 × 216)
    floor (0.728965759277344 × 65536)
    floor (47773.5)     		ty = 47773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35235 / 47773 ti = "16/35235/47773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35235/47773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35235 ÷ 216
    35235 ÷ 65536     		x = 0.537643432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47773 ÷ 216
    47773 ÷ 65536     		y = 0.728958129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537643432617188 × 2 - 1) × π
    0.075286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23652066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728958129882812 × 2 - 1) × π
    -0.457916259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43858635759789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23652066} λ = 0.23652066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43858635759789))-π/2
    2×atan(0.237262926656046)-π/2
    2×0.232955373750145-π/2
    0.46591074750029-1.57079632675     		φ = -1.10488558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23652066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.551636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10488558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.305281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35235 KachelY 47773 0.23652066 -1.10488558 13.551636 -63.305281
    Oben rechts KachelX + 1 35236 KachelY 47773 0.23661654 -1.10488558 13.557129 -63.305281
    Unten links KachelX 35235 KachelY + 1 47774 0.23652066 -1.10492865 13.551636 -63.307748
    Unten rechts KachelX + 1 35236 KachelY + 1 47774 0.23661654 -1.10492865 13.557129 -63.307748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10488558--1.10492865) × R
    4.30700000000339e-05 × 6371000     		dl = 274.398970000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10488558--1.10492865) × R
    4.30700000000339e-05 × 6371000     		dr = 274.398970000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23652066-0.23661654) × cos(-1.10488558) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44923666048487 × 6371000     		do = 274.416878927419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23652066-0.23661654) × cos(-1.10492865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449198180779114 × 6371000     		du = 274.393373542208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10488558)-sin(-1.10492865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44923666048487-0.449198180779114)×R²
    abs(0.23661654-0.23652066)×3.84797057559894e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84797057559894e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84797057559894e-05×40589641000000     		ar = 75296.4840134483m²