Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35234 / 47775
↖ ↑ ↗
← S 63.310215°
E 13.546143°		 ← 274.34 m → S 63.310215°
E 13.551636°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
S 63.312683°
E 13.546143°		 ← 274.32 m →
75 258 m²		 S 63.312683°
E 13.551636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537635803222656 y=0.728996276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537635803222656 × 216)
    floor (0.537635803222656 × 65536)
    floor (35234.5)     		tx = 35234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728996276855469 × 216)
    floor (0.728996276855469 × 65536)
    floor (47775.5)     		ty = 47775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35234 / 47775 ti = "16/35234/47775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35234/47775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35234 ÷ 216
    35234 ÷ 65536     		x = 0.537628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47775 ÷ 216
    47775 ÷ 65536     		y = 0.728988647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537628173828125 × 2 - 1) × π
    0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728988647460938 × 2 - 1) × π
    -0.457977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43877810519637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23642479} λ = 0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43877810519637))-π/2
    2×atan(0.237217436421113)-π/2
    2×0.232912307413687-π/2
    0.465824614827373-1.57079632675     		φ = -1.10497171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10497171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.310215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35234 KachelY 47775 0.23642479 -1.10497171 13.546143 -63.310215
    Oben rechts KachelX + 1 35235 KachelY 47775 0.23652066 -1.10497171 13.551636 -63.310215
    Unten links KachelX 35234 KachelY + 1 47776 0.23642479 -1.10501477 13.546143 -63.312683
    Unten rechts KachelX + 1 35235 KachelY + 1 47776 0.23652066 -1.10501477 13.551636 -63.312683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10497171--1.10501477) × R
    4.30599999998726e-05 × 6371000     		dl = 274.335259999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10497171--1.10501477) × R
    4.30599999998726e-05 × 6371000     		dr = 274.335259999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23642479-0.23652066) × cos(-1.10497171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449159709174599 × 6371000     		do = 274.341257140596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23642479-0.23652066) × cos(-1.10501477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449121236737269 × 6371000     		du = 274.317758646393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10497171)-sin(-1.10501477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449159709174599-0.449121236737269)×R²
    abs(0.23652066-0.23642479)×3.84724373304057e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84724373304057e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84724373304057e-05×40589641000000     		ar = 75258.2568852322m²