Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35231 / 47776
↖ ↑ ↗
← S 63.312683°
E 13.529663°		 ← 274.32 m → S 63.312683°
E 13.535156°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
S 63.315150°
E 13.529663°		 ← 274.29 m →
75 252 m²		 S 63.315150°
E 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537590026855469 y=0.729011535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537590026855469 × 216)
    floor (0.537590026855469 × 65536)
    floor (35231.5)     		tx = 35231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729011535644531 × 216)
    floor (0.729011535644531 × 65536)
    floor (47776.5)     		ty = 47776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35231 / 47776 ti = "16/35231/47776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35231/47776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35231 ÷ 216
    35231 ÷ 65536     		x = 0.537582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47776 ÷ 216
    47776 ÷ 65536     		y = 0.72900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537582397460938 × 2 - 1) × π
    0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23613717} λ = 0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43887397899561))-π/2
    2×atan(0.237194694574428)-π/2
    2×0.232890777012031-π/2
    0.465781554024061-1.57079632675     		φ = -1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35231 KachelY 47776 0.23613717 -1.10501477 13.529663 -63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 35232 KachelY 47776 0.23623304 -1.10501477 13.535156 -63.312683
    Unten links KachelX 35231 KachelY + 1 47777 0.23613717 -1.10505783 13.529663 -63.315150
    Unten rechts KachelX + 1 35232 KachelY + 1 47777 0.23623304 -1.10505783 13.535156 -63.315150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10501477--1.10505783) × R
    4.30600000000947e-05 × 6371000     		dl = 274.335260000603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10501477--1.10505783) × R
    4.30600000000947e-05 × 6371000     		dr = 274.335260000603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23613717-0.23623304) × cos(-1.10501477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 274.317758646393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23613717-0.23623304) × cos(-1.10505783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449082763467194 × 6371000     		du = 274.294259643559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10501477)-sin(-1.10505783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.449082763467194)×R²
    abs(0.23623304-0.23613717)×3.84732700748347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84732700748347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84732700748347e-05×40589641000000     		ar = 75251.8103500795m²