Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35231 / 47747
↖ ↑ ↗
← S 63.241048°
E 13.529663°		 ← 275 m → S 63.241048°
E 13.535156°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 63.243521°
E 13.529663°		 ← 274.98 m →
75 632 m²		 S 63.243521°
E 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537590026855469 y=0.728569030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537590026855469 × 216)
    floor (0.537590026855469 × 65536)
    floor (35231.5)     		tx = 35231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728569030761719 × 216)
    floor (0.728569030761719 × 65536)
    floor (47747.5)     		ty = 47747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35231 / 47747 ti = "16/35231/47747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35231/47747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35231 ÷ 216
    35231 ÷ 65536     		x = 0.537582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47747 ÷ 216
    47747 ÷ 65536     		y = 0.728561401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537582397460938 × 2 - 1) × π
    0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728561401367188 × 2 - 1) × π
    -0.457122802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43609363881764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23613717} λ = 0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43609363881764))-π/2
    2×atan(0.237855094156075)-π/2
    2×0.233515907894521-π/2
    0.467031815789042-1.57079632675     		φ = -1.10376451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10376451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.241048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35231 KachelY 47747 0.23613717 -1.10376451 13.529663 -63.241048
    Oben rechts KachelX + 1 35232 KachelY 47747 0.23623304 -1.10376451 13.535156 -63.241048
    Unten links KachelX 35231 KachelY + 1 47748 0.23613717 -1.10380768 13.529663 -63.243521
    Unten rechts KachelX + 1 35232 KachelY + 1 47748 0.23623304 -1.10380768 13.535156 -63.243521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10376451--1.10380768) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10376451--1.10380768) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23613717-0.23623304) × cos(-1.10376451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450237956257718 × 6371000     		do = 274.999837272003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23613717-0.23623304) × cos(-1.10380768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		du = 274.976293062278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10376451)-sin(-1.10380768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450237956257718-0.450199408973568)×R²
    abs(0.23623304-0.23613717)×3.85472841503698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85472841503698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85472841503698e-05×40589641000000     		ar = 75631.6367522895m²