Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35231 / 103125
↖ ↑ ↗
← S 71.262892°
W 83.235168°		 ← 98.09 m → S 71.262892°
W 83.232422°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
S 71.263774°
W 83.235168°		 ← 98.09 m →
9 624 m²		 S 71.263774°
W 83.232422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268795013427734 y=0.786785125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268795013427734 × 217)
    floor (0.268795013427734 × 131072)
    floor (35231.5)     		tx = 35231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786785125732422 × 217)
    floor (0.786785125732422 × 131072)
    floor (103125.5)     		ty = 103125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35231 / 103125 ti = "17/35231/103125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35231/103125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35231 ÷ 217
    35231 ÷ 131072     		x = 0.268791198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103125 ÷ 217
    103125 ÷ 131072     		y = 0.786781311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.268791198730469 × 2 - 1) × π
    -0.462417602539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.45272774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786781311035156 × 2 - 1) × π
    -0.573562622070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.80190011981829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45272774} λ = -1.45272774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80190011981829))-π/2
    2×atan(0.164985098741351)-π/2
    2×0.163512112462294-π/2
    0.327024224924587-1.57079632675     		φ = -1.24377210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45272774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.235168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24377210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.262892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35231 KachelY 103125 -1.45272774 -1.24377210 -83.235168 -71.262892
    Oben rechts KachelX + 1 35232 KachelY 103125 -1.45267981 -1.24377210 -83.232422 -71.262892
    Unten links KachelX 35231 KachelY + 1 103126 -1.45272774 -1.24378750 -83.235168 -71.263774
    Unten rechts KachelX + 1 35232 KachelY + 1 103126 -1.45267981 -1.24378750 -83.232422 -71.263774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24377210--1.24378750) × R
    1.54000000001098e-05 × 6371000     		dl = 98.1134000006993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24377210--1.24378750) × R
    1.54000000001098e-05 × 6371000     		dr = 98.1134000006993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45272774--1.45267981) × cos(-1.24377210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321226390356891 × 6371000     		do = 98.0903426490127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45272774--1.45267981) × cos(-1.24378750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321211806481348 × 6371000     		du = 98.0858892871717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24377210)-sin(-1.24378750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321226390356891-0.321211806481348)×R²
    abs(-1.45267981--1.45272774)×1.45838755427063e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45838755427063e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45838755427063e-05×40589641000000     		ar = 9623.75855746255m²