Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35229 / 47979
↖ ↑ ↗
← S 63.809168°
E 13.518677°		 ← 269.58 m → S 63.809168°
E 13.524170°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
S 63.811592°
E 13.518677°		 ← 269.56 m →
72 681 m²		 S 63.811592°
E 13.524170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537559509277344 y=0.732109069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537559509277344 × 216)
    floor (0.537559509277344 × 65536)
    floor (35229.5)     		tx = 35229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732109069824219 × 216)
    floor (0.732109069824219 × 65536)
    floor (47979.5)     		ty = 47979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35229 / 47979 ti = "16/35229/47979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35229/47979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35229 ÷ 216
    35229 ÷ 65536     		x = 0.537551879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47979 ÷ 216
    47979 ÷ 65536     		y = 0.732101440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537551879882812 × 2 - 1) × π
    0.075103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23594542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732101440429688 × 2 - 1) × π
    -0.464202880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45833636024135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23594542} λ = 0.23594542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45833636024135))-π/2
    2×atan(0.232622953787944)-π/2
    2×0.228558127152346-π/2
    0.457116254304692-1.57079632675     		φ = -1.11368007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23594542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.518677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11368007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.809168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35229 KachelY 47979 0.23594542 -1.11368007 13.518677 -63.809168
    Oben rechts KachelX + 1 35230 KachelY 47979 0.23604129 -1.11368007 13.524170 -63.809168
    Unten links KachelX 35229 KachelY + 1 47980 0.23594542 -1.11372239 13.518677 -63.811592
    Unten rechts KachelX + 1 35230 KachelY + 1 47980 0.23604129 -1.11372239 13.524170 -63.811592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11368007--1.11372239) × R
    4.23199999999291e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11368007--1.11372239) × R
    4.23199999999291e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23594542-0.23604129) × cos(-1.11368007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441362279316384 × 6371000     		do = 269.578682345765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23594542-0.23604129) × cos(-1.11372239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441324303957781 × 6371000     		du = 269.555487461169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11368007)-sin(-1.11372239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441362279316384-0.441324303957781)×R²
    abs(0.23604129-0.23594542)×3.7975358602671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7975358602671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7975358602671e-05×40589641000000     		ar = 72680.8715306098m²