Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35229 / 47778
↖ ↑ ↗
← S 63.317616°
E 13.518677°		 ← 274.27 m → S 63.317616°
E 13.524170°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
S 63.320083°
E 13.518677°		 ← 274.25 m →
75 221 m²		 S 63.320083°
E 13.524170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537559509277344 y=0.729042053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537559509277344 × 216)
    floor (0.537559509277344 × 65536)
    floor (35229.5)     		tx = 35229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729042053222656 × 216)
    floor (0.729042053222656 × 65536)
    floor (47778.5)     		ty = 47778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35229 / 47778 ti = "16/35229/47778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35229/47778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35229 ÷ 216
    35229 ÷ 65536     		x = 0.537551879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47778 ÷ 216
    47778 ÷ 65536     		y = 0.729034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537551879882812 × 2 - 1) × π
    0.075103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23594542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729034423828125 × 2 - 1) × π
    -0.45806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43906572659409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23594542} λ = 0.23594542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43906572659409))-π/2
    2×atan(0.237149217421578)-π/2
    2×0.232847721741275-π/2
    0.465695443482549-1.57079632675     		φ = -1.10510088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23594542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.518677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10510088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.317616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35229 KachelY 47778 0.23594542 -1.10510088 13.518677 -63.317616
    Oben rechts KachelX + 1 35230 KachelY 47778 0.23604129 -1.10510088 13.524170 -63.317616
    Unten links KachelX 35229 KachelY + 1 47779 0.23594542 -1.10514393 13.518677 -63.320083
    Unten rechts KachelX + 1 35230 KachelY + 1 47779 0.23604129 -1.10514393 13.524170 -63.320083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10510088--1.10514393) × R
    4.30500000001555e-05 × 6371000     		dl = 274.27155000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10510088--1.10514393) × R
    4.30500000001555e-05 × 6371000     		dr = 274.27155000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23594542-0.23604129) × cos(-1.10510088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449044298299541 × 6371000     		do = 274.270765589586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23594542-0.23604129) × cos(-1.10514393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449005832299674 × 6371000     		du = 274.247271027306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10510088)-sin(-1.10514393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449044298299541-0.449005832299674)×R²
    abs(0.23604129-0.23594542)×3.84659998677317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84659998677317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84659998677317e-05×40589641000000     		ar = 75221.4460648932m²