Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35228 / 48676
↖ ↑ ↗
← S 65.449133°
E 13.513184°		 ← 253.78 m → S 65.449133°
E 13.518677°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
S 65.451415°
E 13.513184°		 ← 253.76 m →
64 413 m²		 S 65.451415°
E 13.518677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537544250488281 y=0.742744445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537544250488281 × 216)
    floor (0.537544250488281 × 65536)
    floor (35228.5)     		tx = 35228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742744445800781 × 216)
    floor (0.742744445800781 × 65536)
    floor (48676.5)     		ty = 48676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35228 / 48676 ti = "16/35228/48676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35228/48676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35228 ÷ 216
    35228 ÷ 65536     		x = 0.53753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48676 ÷ 216
    48676 ÷ 65536     		y = 0.74273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53753662109375 × 2 - 1) × π
    0.0750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23584955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23584955} λ = 0.23584955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52516039831171))-π/2
    2×atan(0.217586153614406)-π/2
    2×0.214246732466186-π/2
    0.428493464932372-1.57079632675     		φ = -1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23584955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35228 KachelY 48676 0.23584955 -1.14230286 13.513184 -65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 35229 KachelY 48676 0.23594542 -1.14230286 13.518677 -65.449133
    Unten links KachelX 35228 KachelY + 1 48677 0.23584955 -1.14234270 13.513184 -65.451415
    Unten rechts KachelX + 1 35229 KachelY + 1 48677 0.23594542 -1.14234270 13.518677 -65.451415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14230286--1.14234270) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dl = 253.820639999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14230286--1.14234270) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dr = 253.820639999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23584955-0.23594542) × cos(-1.14230286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 253.782894279177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23584955-0.23594542) × cos(-1.14234270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		du = 253.76076024364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14230286)-sin(-1.14234270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.415464704284511)×R²
    abs(0.23594542-0.23584955)×3.62385048027769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62385048027769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62385048027769e-05×40589641000000     		ar = 64412.5276175774m²