Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35227 / 47749
↖ ↑ ↗
← S 63.245994°
E 13.507690°		 ← 274.98 m → S 63.245994°
E 13.513184°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
S 63.248467°
E 13.507690°		 ← 274.96 m →
75 592 m²		 S 63.248467°
E 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537528991699219 y=0.728599548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537528991699219 × 216)
    floor (0.537528991699219 × 65536)
    floor (35227.5)     		tx = 35227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728599548339844 × 216)
    floor (0.728599548339844 × 65536)
    floor (47749.5)     		ty = 47749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35227 / 47749 ti = "16/35227/47749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35227/47749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35227 ÷ 216
    35227 ÷ 65536     		x = 0.537521362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47749 ÷ 216
    47749 ÷ 65536     		y = 0.728591918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537521362304688 × 2 - 1) × π
    0.075042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23575367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728591918945312 × 2 - 1) × π
    -0.457183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43628538641612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23575367} λ = 0.23575367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43628538641612))-π/2
    2×atan(0.237809490385331)-π/2
    2×0.233472745566315-π/2
    0.46694549113263-1.57079632675     		φ = -1.10385084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23575367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10385084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.245994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35227 KachelY 47749 0.23575367 -1.10385084 13.507690 -63.245994
    Oben rechts KachelX + 1 35228 KachelY 47749 0.23584955 -1.10385084 13.513184 -63.245994
    Unten links KachelX 35227 KachelY + 1 47750 0.23575367 -1.10389399 13.507690 -63.248467
    Unten rechts KachelX + 1 35228 KachelY + 1 47750 0.23584955 -1.10389399 13.513184 -63.248467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10385084--1.10389399) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10385084--1.10389399) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23575367-0.23584955) × cos(-1.10385084) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450160869779879 × 6371000     		do = 274.981433543105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23575367-0.23584955) × cos(-1.10389399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450122338677305 × 6371000     		du = 274.957896762072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10385084)-sin(-1.10389399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450160869779879-0.450122338677305)×R²
    abs(0.23584955-0.23575367)×3.85311025734025e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85311025734025e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85311025734025e-05×40589641000000     		ar = 75591.5394496491m²