Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35226 / 47754
↖ ↑ ↗
← S 63.258355°
E 13.502197°		 ← 274.84 m → S 63.258355°
E 13.507690°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
S 63.260827°
E 13.502197°		 ← 274.81 m →
75 534 m²		 S 63.260827°
E 13.507690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537513732910156 y=0.728675842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537513732910156 × 216)
    floor (0.537513732910156 × 65536)
    floor (35226.5)     		tx = 35226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728675842285156 × 216)
    floor (0.728675842285156 × 65536)
    floor (47754.5)     		ty = 47754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35226 / 47754 ti = "16/35226/47754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35226/47754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35226 ÷ 216
    35226 ÷ 65536     		x = 0.537506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47754 ÷ 216
    47754 ÷ 65536     		y = 0.728668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537506103515625 × 2 - 1) × π
    0.07501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23565780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.45733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43676475541232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23565780} λ = 0.23565780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43676475541232))-π/2
    2×atan(0.237695519207945)-π/2
    2×0.23336487207343-π/2
    0.466729744146859-1.57079632675     		φ = -1.10406658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23565780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.502197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10406658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.258355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35226 KachelY 47754 0.23565780 -1.10406658 13.502197 -63.258355
    Oben rechts KachelX + 1 35227 KachelY 47754 0.23575367 -1.10406658 13.507690 -63.258355
    Unten links KachelX 35226 KachelY + 1 47755 0.23565780 -1.10410972 13.502197 -63.260827
    Unten rechts KachelX + 1 35227 KachelY + 1 47755 0.23575367 -1.10410972 13.507690 -63.260827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10406658--1.10410972) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dl = 274.844940000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10406658--1.10410972) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dr = 274.844940000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23565780-0.23575367) × cos(-1.10406658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449968214817246 × 6371000     		do = 274.835082499101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23565780-0.23575367) × cos(-1.10410972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449929688455759 × 6371000     		du = 274.811551068682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10406658)-sin(-1.10410972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449968214817246-0.449929688455759)×R²
    abs(0.23575367-0.23565780)×3.85263614865461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85263614865461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85263614865461e-05×40589641000000     		ar = 75533.7980240425m²