Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35224 / 47752
↖ ↑ ↗
← S 63.253411°
E 13.491211°		 ← 274.88 m → S 63.253411°
E 13.496704°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
S 63.255884°
E 13.491211°		 ← 274.86 m →
75 564 m²		 S 63.255884°
E 13.496704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537483215332031 y=0.728645324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537483215332031 × 216)
    floor (0.537483215332031 × 65536)
    floor (35224.5)     		tx = 35224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728645324707031 × 216)
    floor (0.728645324707031 × 65536)
    floor (47752.5)     		ty = 47752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35224 / 47752 ti = "16/35224/47752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35224/47752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35224 ÷ 216
    35224 ÷ 65536     		x = 0.5374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47752 ÷ 216
    47752 ÷ 65536     		y = 0.7286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5374755859375 × 2 - 1) × π
    0.074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23546605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7286376953125 × 2 - 1) × π
    -0.457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43657300781384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23546605} λ = 0.23546605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43657300781384))-π/2
    2×atan(0.237741101122894)-π/2
    2×0.233408015929294-π/2
    0.466816031858589-1.57079632675     		φ = -1.10398029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23546605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10398029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.253411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35224 KachelY 47752 0.23546605 -1.10398029 13.491211 -63.253411
    Oben rechts KachelX + 1 35225 KachelY 47752 0.23556192 -1.10398029 13.496704 -63.253411
    Unten links KachelX 35224 KachelY + 1 47753 0.23546605 -1.10402344 13.491211 -63.255884
    Unten rechts KachelX + 1 35225 KachelY + 1 47753 0.23556192 -1.10402344 13.496704 -63.255884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10398029--1.10402344) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10398029--1.10402344) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23546605-0.23556192) × cos(-1.10398029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450045273957952 × 6371000     		do = 274.88214927981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23546605-0.23556192) × cos(-1.10402344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450006740341315 × 6371000     		du = 274.858613418035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10398029)-sin(-1.10402344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450045273957952-0.450006740341315)×R²
    abs(0.23556192-0.23546605)×3.85336166368599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85336166368599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85336166368599e-05×40589641000000     		ar = 75564.245473473m²