Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35218 / 47738
↖ ↑ ↗
← S 63.218781°
E 13.458252°		 ← 275.21 m → S 63.218781°
E 13.463745°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
S 63.221255°
E 13.458252°		 ← 275.19 m →
75 725 m²		 S 63.221255°
E 13.463745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537391662597656 y=0.728431701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537391662597656 × 216)
    floor (0.537391662597656 × 65536)
    floor (35218.5)     		tx = 35218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728431701660156 × 216)
    floor (0.728431701660156 × 65536)
    floor (47738.5)     		ty = 47738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35218 / 47738 ti = "16/35218/47738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35218/47738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35218 ÷ 216
    35218 ÷ 65536     		x = 0.537384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47738 ÷ 216
    47738 ÷ 65536     		y = 0.728424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537384033203125 × 2 - 1) × π
    0.07476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23489081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.45684814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43523077462448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23489081} λ = 0.23489081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43523077462448))-π/2
    2×atan(0.238060419371132)-π/2
    2×0.233710229843594-π/2
    0.467420459687189-1.57079632675     		φ = -1.10337587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23489081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10337587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.218781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35218 KachelY 47738 0.23489081 -1.10337587 13.458252 -63.218781
    Oben rechts KachelX + 1 35219 KachelY 47738 0.23498668 -1.10337587 13.463745 -63.218781
    Unten links KachelX 35218 KachelY + 1 47739 0.23489081 -1.10341906 13.458252 -63.221255
    Unten rechts KachelX + 1 35219 KachelY + 1 47739 0.23498668 -1.10341906 13.463745 -63.221255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10337587--1.10341906) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dl = 275.163489999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10337587--1.10341906) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dr = 275.163489999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23489081-0.23498668) × cos(-1.10337587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450584942248299 × 6371000     		do = 275.211772071411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23489081-0.23498668) × cos(-1.10341906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450546384665583 × 6371000     		du = 275.188221571448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10337587)-sin(-1.10341906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450584942248299-0.450546384665583)×R²
    abs(0.23498668-0.23489081)×3.85575827157592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85575827157592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85575827157592e-05×40589641000000     		ar = 75724.9915850845m²