Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35216 / 47760
↖ ↑ ↗
← S 63.273182°
E 13.447266°		 ← 274.69 m → S 63.273182°
E 13.452759°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
S 63.275652°
E 13.447266°		 ← 274.67 m →
75 443 m²		 S 63.275652°
E 13.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537361145019531 y=0.728767395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537361145019531 × 216)
    floor (0.537361145019531 × 65536)
    floor (35216.5)     		tx = 35216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728767395019531 × 216)
    floor (0.728767395019531 × 65536)
    floor (47760.5)     		ty = 47760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35216 / 47760 ti = "16/35216/47760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35216/47760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35216 ÷ 216
    35216 ÷ 65536     		x = 0.537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47760 ÷ 216
    47760 ÷ 65536     		y = 0.728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537353515625 × 2 - 1) × π
    0.07470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23469906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23469906} λ = 0.23469906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43733999820776))-π/2
    2×atan(0.237558825892704)-π/2
    2×0.233235484825768-π/2
    0.466470969651536-1.57079632675     		φ = -1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23469906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35216 KachelY 47760 0.23469906 -1.10432536 13.447266 -63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 35217 KachelY 47760 0.23479493 -1.10432536 13.452759 -63.273182
    Unten links KachelX 35216 KachelY + 1 47761 0.23469906 -1.10436847 13.447266 -63.275652
    Unten rechts KachelX + 1 35217 KachelY + 1 47761 0.23479493 -1.10436847 13.452759 -63.275652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10432536--1.10436847) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dl = 274.653810000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10432536--1.10436847) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dr = 274.653810000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23469906-0.23479493) × cos(-1.10432536) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 274.693918977844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23469906-0.23479493) × cos(-1.10436847) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.44969859309132 × 6371000     		du = 274.670400846458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10432536)-sin(-1.10436847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.44969859309132)×R²
    abs(0.23479493-0.23469906)×3.8504587911381e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.8504587911381e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.8504587911381e-05×40589641000000     		ar = 75442.5017706046m²