Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35214 / 47753
↖ ↑ ↗
← S 63.255884°
E 13.436279°		 ← 274.89 m → S 63.255884°
E 13.441773°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
S 63.258355°
E 13.436279°		 ← 274.86 m →
75 548 m²		 S 63.258355°
E 13.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537330627441406 y=0.728660583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537330627441406 × 216)
    floor (0.537330627441406 × 65536)
    floor (35214.5)     		tx = 35214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728660583496094 × 216)
    floor (0.728660583496094 × 65536)
    floor (47753.5)     		ty = 47753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35214 / 47753 ti = "16/35214/47753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35214/47753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35214 ÷ 216
    35214 ÷ 65536     		x = 0.537322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47753 ÷ 216
    47753 ÷ 65536     		y = 0.728652954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537322998046875 × 2 - 1) × π
    0.07464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23450731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728652954101562 × 2 - 1) × π
    -0.457305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43666888161308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23450731} λ = 0.23450731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43666888161308))-π/2
    2×atan(0.237718309072892)-π/2
    2×0.233386443077892-π/2
    0.466772886155785-1.57079632675     		φ = -1.10402344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23450731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10402344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.255884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35214 KachelY 47753 0.23450731 -1.10402344 13.436279 -63.255884
    Oben rechts KachelX + 1 35215 KachelY 47753 0.23460319 -1.10402344 13.441773 -63.255884
    Unten links KachelX 35214 KachelY + 1 47754 0.23450731 -1.10406658 13.436279 -63.258355
    Unten rechts KachelX + 1 35215 KachelY + 1 47754 0.23460319 -1.10406658 13.441773 -63.258355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10402344--1.10406658) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dl = 274.844940000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10402344--1.10406658) × R
    4.31400000000526e-05 × 6371000     		dr = 274.844940000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23450731-0.23460319) × cos(-1.10402344) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450006740341315 × 6371000     		do = 274.887283347447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23450731-0.23460319) × cos(-1.10406658) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449968214817246 × 6371000     		du = 274.863749974052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10402344)-sin(-1.10406658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450006740341315-0.449968214817246)×R²
    abs(0.23460319-0.23450731)×3.85255240688553e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85255240688553e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85255240688553e-05×40589641000000     		ar = 75548.1448957339m²