Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35212 / 47729
↖ ↑ ↗
← S 63.196495°
E 13.425293°		 ← 275.42 m → S 63.196495°
E 13.430786°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
S 63.198972°
E 13.425293°		 ← 275.40 m →
75 854 m²		 S 63.198972°
E 13.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537300109863281 y=0.728294372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537300109863281 × 216)
    floor (0.537300109863281 × 65536)
    floor (35212.5)     		tx = 35212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728294372558594 × 216)
    floor (0.728294372558594 × 65536)
    floor (47729.5)     		ty = 47729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35212 / 47729 ti = "16/35212/47729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35212/47729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35212 ÷ 216
    35212 ÷ 65536     		x = 0.53729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47729 ÷ 216
    47729 ÷ 65536     		y = 0.728286743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53729248046875 × 2 - 1) × π
    0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728286743164062 × 2 - 1) × π
    -0.456573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43436791043132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23431557} λ = 0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43436791043132))-π/2
    2×atan(0.238265921830423)-π/2
    2×0.233904701538047-π/2
    0.467809403076095-1.57079632675     		φ = -1.10298692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10298692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.196495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35212 KachelY 47729 0.23431557 -1.10298692 13.425293 -63.196495
    Oben rechts KachelX + 1 35213 KachelY 47729 0.23441144 -1.10298692 13.430786 -63.196495
    Unten links KachelX 35212 KachelY + 1 47730 0.23431557 -1.10303015 13.425293 -63.198972
    Unten rechts KachelX + 1 35213 KachelY + 1 47730 0.23441144 -1.10303015 13.430786 -63.198972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10298692--1.10303015) × R
    4.32299999999497e-05 × 6371000     		dl = 275.41832999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10298692--1.10303015) × R
    4.32299999999497e-05 × 6371000     		dr = 275.41832999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23431557-0.23441144) × cos(-1.10298692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450932136875134 × 6371000     		do = 275.423834303292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23431557-0.23441144) × cos(-1.10303015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450893551161166 × 6371000     		du = 275.400266621103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10298692)-sin(-1.10303015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450932136875134-0.450893551161166)×R²
    abs(0.23441144-0.23431557)×3.85857139680867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85857139680867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85857139680867e-05×40589641000000     		ar = 75853.527011833m²