Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3521 / 5569
↖ ↑ ↗
← S 54.188156°
W 25.268555°		 ← 2 859.21 m → S 54.188156°
W 25.224610°		 →
↑
2 858.29 m
↓
↑
2 858.29 m
↓
S 54.213861°
W 25.268555°		 ← 2 857.43 m →
8 169 900 m²		 S 54.213861°
W 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42987060546875 y=0.67987060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42987060546875 × 213)
    floor (0.42987060546875 × 8192)
    floor (3521.5)     		tx = 3521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67987060546875 × 213)
    floor (0.67987060546875 × 8192)
    floor (5569.5)     		ty = 5569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3521 / 5569 ti = "13/3521/5569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3521/5569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3521 ÷ 213
    3521 ÷ 8192     		x = 0.4298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5569 ÷ 213
    5569 ÷ 8192     		y = 0.6798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44101948} λ = -0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12977685024548))-π/2
    2×atan(0.323105349257574)-π/2
    2×0.312517299043241-π/2
    0.625034598086482-1.57079632675     		φ = -0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3521 KachelY 5569 -0.44101948 -0.94576173 -25.268555 -54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 3522 KachelY 5569 -0.44025249 -0.94576173 -25.224610 -54.188156
    Unten links KachelX 3521 KachelY + 1 5570 -0.44101948 -0.94621037 -25.268555 -54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 3522 KachelY + 1 5570 -0.44025249 -0.94621037 -25.224610 -54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94576173--0.94621037) × R
    0.00044864 × 6371000     		dl = 2858.28544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94576173--0.94621037) × R
    0.00044864 × 6371000     		dr = 2858.28544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44101948--0.44025249) × cos(-0.94576173) × R
    0.000766990000000023 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 2859.21099550691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44101948--0.44025249) × cos(-0.94621037) × R
    0.000766990000000023 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 2857.43289692952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94576173)-sin(-0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.584761449028704)×R²
    abs(-0.44025249--0.44101948)×0.000363880286304297×R²
    0.000766990000000023×0.000363880286304297×6371000²
    0.000766990000000023×0.000363880286304297×40589641000000     		ar = 8169900.13874377m²