Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35208 / 47768
↖ ↑ ↗
← S 63.292939°
E 13.403320°		 ← 274.51 m → S 63.292939°
E 13.408813°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
S 63.295408°
E 13.403320°		 ← 274.48 m →
75 356 m²		 S 63.295408°
E 13.408813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537239074707031 y=0.728889465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537239074707031 × 216)
    floor (0.537239074707031 × 65536)
    floor (35208.5)     		tx = 35208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728889465332031 × 216)
    floor (0.728889465332031 × 65536)
    floor (47768.5)     		ty = 47768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35208 / 47768 ti = "16/35208/47768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35208/47768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35208 ÷ 216
    35208 ÷ 65536     		x = 0.5372314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47768 ÷ 216
    47768 ÷ 65536     		y = 0.7288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5372314453125 × 2 - 1) × π
    0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23393207} λ = 0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43810698860168))-π/2
    2×atan(0.237376690412264)-π/2
    2×0.233063071873488-π/2
    0.466126143746977-1.57079632675     		φ = -1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35208 KachelY 47768 0.23393207 -1.10467018 13.403320 -63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 35209 KachelY 47768 0.23402794 -1.10467018 13.408813 -63.292939
    Unten links KachelX 35208 KachelY + 1 47769 0.23393207 -1.10471327 13.403320 -63.295408
    Unten rechts KachelX + 1 35209 KachelY + 1 47769 0.23402794 -1.10471327 13.408813 -63.295408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10467018--1.10471327) × R
    4.30899999999124e-05 × 6371000     		dl = 274.526389999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10467018--1.10471327) × R
    4.30899999999124e-05 × 6371000     		dr = 274.526389999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23393207-0.23402794) × cos(-1.10467018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 274.505792373637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23393207-0.23402794) × cos(-1.10471327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44939059777379 × 6371000     		du = 274.482281073214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10467018)-sin(-1.10471327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.44939059777379)×R²
    abs(0.23402794-0.23393207)×3.84934040557616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84934040557616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84934040557616e-05×40589641000000     		ar = 75355.8569896137m²